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一. 偏序关系1. 偏序关系定义( 1 ) 偏序关系定义 ( 自反 | 反对称 | 传递 )( 2 ) 偏序关系 与 等价关系 ( 等价关系 用于分类 | 偏序关系 用于组织 )
2. 偏序集定义( 1 ) 偏序集定义
二. 偏序关系 示例1. 小于等于关系( 1 ) 小于等于关系 说明( 2 ) 小于等于关系 分析
2. 大于等于关系( 1 ) 大于等于关系 说明( 2 ) 大于等于关系 分析
3. 整除关系( 1 ) 整除关系 说明( 2 ) 整除关系 分析
4. 包含关系( 1 ) 包含关系 说明( 2 ) 包含关系 分析
5. 加细关系( 1 ) 加细关系 说明( 2 ) 加细关系 分析
一. 偏序关系
1. 偏序关系定义
( 1 ) 偏序关系定义 ( 自反 | 反对称 | 传递 )
偏序关系 定义 : 1.前置条件 1 : A ̸ = ∅ A \not= \varnothing A̸=∅ , 并且 R ⊆ A × A R \subseteq A \times A R⊆A×A ; 2.前置条件 2 : 如果 R R R 是 自反 , 反对称 , 传递的 ; ① 自反 : 每个元素 自己 和 自己 都有关系 , x R x xRx xRx ;② 反对称 : 如果 x R y xRy xRy 并且 y R x yRx yRx 则 x = y x=y x=y , 即 x ̸ = y x \not=y x̸=y , x R y xRy xRy 和 y R x yRx yRx 不能同时存在 ; 可以没有 , 但是一定不能同时出现 ;③ 传递 : 如果 有 x R y xRy xRy , y R z yRz yRz , 那么必须有 x R z xRz xRz , 如果前提不成立 , 那么也勉强称为传递 ;3.结论 : 称 R R R 为 A A A 上的偏序关系 ; 4.表示 : 使用 ⪯ \preceq ⪯ 表示偏序关系 ; 5.读法 : ⪯ \preceq ⪯ 读作 "小于等于" ; 6.使用公式表示 : ; x , y ; ∈ R ⟺ x R y ⟺ x ⪯ y ;x, y; \in R \Longleftrightarrow xRy \Longleftrightarrow x \preceq y ∈R⟺xRy⟺x⪯y 7.公式解读 : 如果 x x x , y y y 两个元素 构成 有序对 ; x , y ; ;x,y; , 并且在偏序关系 R R R 中 , x x x 和 y y y 具有 R R R 关系 , 也可以写成 x x x 小于等于 ( 偏序符号 ) y y y ; 8.常见的偏序关系 : 树 上 的 小于等于关系 , 集合上的包含关系 , 非 0 0 0 自然数之间的整除关系 , 都是常见的偏序关系 ; ( 2 ) 偏序关系 与 等价关系 ( 等价关系 用于分类 | 偏序关系 用于组织 )偏序关系 与 等价关系 : 1.表示层次结构 : 偏序关系是非常常用的二元关系 , 通常用来 表示 层次结构 ;2.等价关系 : 等价关系 是 用来分类的 , 将一个 集合 分为 几个等价类 ;3.偏序关系 : 偏序关系 通常是 用来组织的 , 在每个类的内部 , 赋予其一个结构 , 特别是层次结构 , 有上下层级 , 2. 偏序集定义 ( 1 ) 偏序集定义偏序集 定义 : 1.前置条件 1 : ⪯ \preceq ⪯ 是 A A A 上的 偏序关系 ;2.结论 : ; A , ⪯ ; ;A , \preceq; 是偏序集 ;3.解读 : 集合 A A A 与 偏序关系 ⪯ \preceq ⪯ 构成的有序对 , 称为 偏序集 ; 二. 偏序关系 示例 1. 小于等于关系 ( 1 ) 小于等于关系 说明偏序集示例 1 ( 小于等于关系 ≤ \leq ≤ 是 偏序关系 ) : 1.公式表示 : ∅ ̸ = A ⊆ R , ; A , ≤ ; \varnothing \not= A \subseteq R , ;A , \leq ; ∅̸=A⊆R,2.语言描述 : 如果 A A A 是 实数集 R R R 的 子集 , 并且 A A A 不能 是 空集 ∅ \varnothing ∅ , 集合 A A A 中的 小于等于关系 , 是偏序关系 ;3.使用集合形式表示关系 : ≤ = { ; x , y ; ∣ x , y ∈ A ∧ x ≤ y } \leq = \{ ;x,y; | x,y \in A \land x \leq y \} ≤={∣x,y∈A∧x≤y} ( 2 ) 小于等于关系 分析实数集 A A A 上的 小于等于关系 ( ≤ \leq ≤ ) 分析 : 1.自反性质分析 : x x x 小于等于 x x x , x ≤ x x \leq x x≤x , 是成立的 , 小于等于关系 是 自反的 ;2.反对称性质分析 : x x x 小于等于 y y y , y y y 小于等于 x x x , 推出 x = y x = y x=y , 符合 反对称性质 的 定义 , 因此 小于等于 关系 是 反对称的 ,3.传递性质分析 : x x x 小于等于 y y y , y y y 小于等于 z z z , x x x 小于等于 z z z , 是成立的 , 因此 小于等于关系 是 传递的 ;4.总结 : 综上所述 , 小于等于 关系 是 偏序关系 ; 2. 大于等于关系 ( 1 ) 大于等于关系 说明偏序集示例 2 ( 大于等于关系 ≥ \geq ≥ 是 偏序关系 ) : 1.公式表示 : ∅ ̸ = A ⊆ R , ; A , ≥ ; \varnothing \not= A \subseteq R , ;A , \geq ; ∅̸=A⊆R,2.语言描述 : 如果 A A A 是 实数集 R R R 的 子集 , 并且 A A A 不能 是 空集 ∅ \varnothing ∅ , 集合 A A A 中的 大于等于关系 ( ≥ \geq ≥ ) , 是偏序关系 ;3.使用集合形式表示关系 : ≥ = { ; x , y ; ∣ x , y ∈ A ∧ x ≥ y } \geq = \{ ;x,y; | x,y \in A \land x \geq y \} ≥={∣x,y∈A∧x≥y} ( 2 ) 大于等于关系 分析实数集 A A A 上的 大于等于关系 ( ≥ \geq ≥ ) 分析 : 1.自反性质分析 : x x x 大于等于 x x x , x ≥ x x \geq x x≥x , 是成立的 , 大于等于关系 是 自反的 ;2.反对称性质分析 : x x x 大于等于 y y y , y y y 大于等于 x x x , 推出 x = y x = y x=y , 符合 反对称性质 的 定义 , 因此 大于等于 关系 是 反对称的 ,3.传递性质分析 : x x x 大于等于 y y y , y y y 大于等于 z z z , x x x 大于等于 z z z , 是成立的 , 因此 大于等于关系 是 传递的 ;4.总结 : 综上所述 , 大于等于 关系 是 偏序关系 ; 3. 整除关系 ( 1 ) 整除关系 说明偏序集示例 3 ( 整除关系 是 偏序关系 ) : 1.公式表示 : ∅ ̸ = A ⊆ Z + = { x ∣ x ∈ Z ∧ x ; 0 } ; A , ∣ ; \varnothing \not= A \subseteq Z_+ = \{ x | x \in Z \land x ; 0 \};A , | ; ∅̸=A⊆Z+={x∣x∈Z∧x>0}2.语言描述 : 如果 A A A 是 正整数集 Z + Z_+ Z+ 的 子集 , 并且 A A A 不能 是 空集 ∅ \varnothing ∅ , 集合 A A A 中的 整除关系 ( ∣ | ∣ ) , 是偏序关系 ;3.使用集合形式表示关系 : ∣ = { ; x , y ; ∣ x , y ∈ A ∧ x ∣ y } |= \{ ;x,y; | x,y \in A \land x | y \} ∣={∣x,y∈A∧x∣y}4.整除关系 : x ∣ y x|y x∣y , x x x 是 y y y 的因子 , 或 y y y 是 x x x 的倍数 ; ( 2 ) 整除关系 分析正整数集 A A A 上的 整除关系 ( ∣ | ∣ ) 分析 : 1.自反性质分析 : x x x 整除 x x x , x ∣ x x | x x∣x , 是成立的 , 整除关系 ( | ) 是 自反的 ;2.反对称性质分析 : x x x 整除 y y y , y y y 整除 x x x , 两个正整数互相都能整除 , 它们只能相等 , 推出 x = y x = y x=y , 符合 反对称性质 的 定义 , 因此 整除 关系 是 反对称的 ,3.传递性质分析 : x x x 整除 y y y , y y y 整除 z z z , x x x 整除 z z z , 是成立的 , 因此 整除关系 是 传递的 ;4.总结 : 综上所述 , 整除 关系 是 偏序关系 ; 4. 包含关系 ( 1 ) 包含关系 说明偏序集示例 4 ( 包含关系 ⊆ \subseteq ⊆ 是 偏序关系 ) : 1.公式表示 : A ⊆ P ( A ) , ⊆ = { ; x , y ; ∣ x , y ∈ A ∧ x ⊆ y } \mathscr{A} \subseteq P(A) , \subseteq = \{;x , y; | x , y \in \mathscr{A} \land x \subseteq y \} A⊆P(A),⊆={∣x,y∈A∧x⊆y}2.语言描述 : 集合 A A A 上的幂集合 P ( A ) P(A) P(A) , P ( A ) P(A) P(A) 的子集合 构成 集族 A \mathscr{A} A , 该集族 A \mathscr{A} A 上的包含关系 , 是偏序关系 ; ( 2 ) 包含关系 分析分析 集合的 子集族 之间的包含关系 : ① 假设一个比较简单的集合 A = { a , b } A=\{a, b\} A={a,b} ② 分析 下面 A A A 的 3 个子集族 ; A 1 = { ∅ , { a } , { b } } \mathscr{A}_1 = \{ \varnothing , \{a\} , \{b\} \} A1={∅,{a},{b}} 集族 A 1 \mathscr{A}_1 A1 包含 空集 ∅ \varnothing ∅ , 单元集 { a } \{a\} {a} , 单元集 { b } \{b\} {b} ; A 2 = { { a } , { a , b } } \mathscr{A}_2 = \{ \{a\} , \{a, b\} \} A2={{a},{a,b}} 集族 A 2 \mathscr{A}_2 A2 包含 单元集 { a } \{a\} {a} , 2 元集 { a , b } \{a, b\} {a,b} ; A 3 = P ( A ) = { ∅ , { a } , { b } , { a , b } } \mathscr{A}_3 = P(A) = \{ \varnothing , \{a\} , \{b\} , \{a, b\} \} A3=P(A)={∅,{a},{b},{a,b}} 集族 A 3 \mathscr{A}_3 A3 包含 空集 ∅ \varnothing ∅ , 单元集 { a } \{a\} {a} , 单元集 { b } \{b\} {b} , 2 元集 { a , b } \{a, b\} {a,b} ; 这是 集合 A A A 的 幂集 ; ③ 列举出集族 A 1 \mathscr{A}_1 A1 上的包含关系 : ⊆ 1 = I A 1 ∪ { ; ∅ , { a } ; , ; ∅ , { b } ; } \subseteq_1 = I_{\mathscr{A}1} \cup \{ ;\varnothing , \{a\}; , ;\varnothing , \{b\}; \} ⊆1=IA1∪{b}>} ⊆ 1 \subseteq_1 ⊆1 是集合 A 1 \mathscr{A}1 A1 上的偏序关系 ; 即 分析 空集 ∅ \varnothing ∅ , 单元集 { a } \{a\} {a} , 单元集 { b } \{b\} {b} 三个 集合之间的包含关系 : 1.恒等关系 I A 1 I_{\mathscr{A}1} IA1 : ; { a } , { a } ; 和 ; { b } , { b } ; ;\{a\} , \{a\}; 和 ;\{b\} , \{b\}; a}>和b}> , 集合上的恒等关系 , 每个集合 肯定 自己包含自己 ;2. ; ∅ , { a } ; ;\varnothing , \{a\}; a} ;3. ; ∅ , { b } ; ;\varnothing , \{b\}; b} ;4.总结 : 这些包含关系 的性质分析 : ① 自反 : 每个元素自己 包含 自己 , A ⊆ A A \subseteq A A⊆A , 包含关系具有 自反性质 ;② 反对称 : 如果 集合 A ⊆ B A \subseteq B A⊆B , B ⊆ A B \subseteq A B⊆A , 那么 A = B A = B A=B , 显然 包含关系 具有反对称性质 ;③ 传递 : 如果 A ⊆ B A \subseteq B A⊆B , 并且 A ⊆ C A \subseteq C A⊆C , 那么有 A ⊆ C A \subseteq C A⊆C , 包含关系 具有传递性质 ;④ 列举出集族 A 2 \mathscr{A}_2 A2 上的包含关系 : ⊆ 2 = I A 2 ∪ { ; { a } , { a , b } ; \subseteq_2 = I_{\mathscr{A}2} \cup \{ ;\{a\} , \{a, b\}; ⊆2=IA2∪{a,b}> ⊆ 2 \subseteq_2 ⊆2 是集合 A 2 \mathscr{A}2 A2 上的偏序关系 ; ⑤ 列举出集族 A 3 \mathscr{A}_3 A3 上的包含关系 : ⊆ 3 = I A 3 ∪ { ; ∅ , { a } ; , ; ∅ , { b } ; , ; ∅ , { a , b } ; , ; { a } , { a , b } ; , ; { b } , { a , b } ; } \subseteq_3 = I_{\mathscr{A}3} \cup \{ ;\varnothing , \{a\}; , ;\varnothing , \{b\};, ;\varnothing , \{a, b\}; , ;\{a\} , \{a, b\}; , ;\{b\} , \{a, b\}; \} ⊆3=IA3∪{b}>,a},{a,b}>,a,b}>} ⊆ 3 \subseteq_3 ⊆3 是集合 A 3 \mathscr{A}_3 A3 上的偏序关系 ; 5. 加细关系 ( 1 ) 加细关系 说明偏序集示例 5 ( 加细关系 ⪯ 加 细 \preceq_{加细} ⪯加细 是 偏序关系 ) : 1.加细关系描述 : A ̸ = ∅ A \not= \varnothing A̸=∅ , π \pi π 是 由 A A A 的 一些划分 组成的集合 ;⪯ 加 细 = { ; x , y ; ∣ x , y ∈ π ∧ x 是 y 的 加 细 } \preceq_{加细} = \{;x , y; | x , y \in \pi \land x 是 y 的 加细\} ⪯加细={∣x,y∈π∧x是y的加细} 2.划分 : 划分 是 一个 集族 ( 集合的集合 ) , 其元素是集合 又叫 划分快 , 其中 每个元素(集族中的元素)集合 中的 元素 是 非空集合 A A A 的元素 ; ① 该集族不包含空集 ;② 该集族中任意两个集合都不想交 ;③ 该集族中 所有 元素 取并集 , 得到 集合 A A A ; ( 2 ) 加细关系 分析分析 集合的 划分之间 的 加细 关系 : ① 集合 A = { a , b , c } A = \{a, b, c\} A={a,b,c} , 下面的 划分 和 加细 都基于 该 集合 进行分析 ; ② 下面 列出集合 A A A 的 5 个划分 : 划分 1 : 对应 1 个等价关系 , 分成 1 类 ; A 1 = { { a , b , c } } \mathscr{A}_1 =\{ \{ a, b, c \} \} A1={{a,b,c}} 划分 2 : 对应 2 个等价关系 , 分成 2 类 ; A 2 = { { a } , { b , c } } \mathscr{A}_2 = \{ \{ a \} , \{ b, c \} \} A2={{a},{b,c}} 划分 3 : 对应 2 个等价关系 , 分成 2 类 ; A 3 = { { b } , { a , c } } \mathscr{A}_3 = \{ \{ b \} , \{ a, c \} \} A3={{b},{a,c}} 划分 4 : 对应 2 个等价关系 , 分成 2 类 ; A 4 = { { c } , { a , b } } \mathscr{A}_4 = \{ \{ c \} , \{ a, b \}\} A4={{c},{a,b}} 划分 5 : 对应 3 个等价关系 , 分成 3 类 ; 每个元素自己自成一类 A 5 = { { a } , { b } , { c } } \mathscr{A}_5 = \{ \{ a \} , \{ b \}, \{ c \} \} A5={{a},{b},{c}} ③ 下面 列出要分析的几个由划分组成的集合 : 集合 1 : π 1 = { A 1 , A 2 } \pi_1 = \{ \mathscr{A}_1, \mathscr{A}_2 \} π1={A1,A2} 集合 2 : π 2 = { A 2 , A 3 } \pi_2 = \{ \mathscr{A}_2, \mathscr{A}_3 \} π2={A2,A3} 集合 3 : π 3 = { A 1 , A 2 , A 3 , A 4 , A 5 } \pi_3 = \{ \mathscr{A}_1, \mathscr{A}_2, \mathscr{A}_3, \mathscr{A}_4, \mathscr{A}_5 \} π3={A1,A2,A3,A4,A5} ④ 集合 π 1 \pi_1 π1 上的加细关系分析 : 1.自己是自己的加细 : 每个划分 , 自己是自己的加细 , 因此 加细关系中 有 I π 1 I_{\pi 1} Iπ1 , ; A 1 , A 1 ; ;\mathscr{A}_1 , \mathscr{A}_1; , ; A 2 , A 2 ; ;\mathscr{A}_2 , \mathscr{A}_2; ;2.其它加细关系 : A 2 \mathscr{A}_2 A2 划分中的 每个划分块 , 都是 A 1 \mathscr{A}_1 A1 划分 中块 的某个划分块的子集合 , 因此有 A 2 \mathscr{A}_2 A2 是 A 1 \mathscr{A}_1 A1 的加细 , 记做 ; A 2 , A 1 ; ;\mathscr{A}_2, \mathscr{A}_1; ;3.加细的定义 : A 1 \mathscr{A}_1 A1 和 A 2 \mathscr{A}_2 A2 都是集合 A A A 的划分, A 2 \mathscr{A}_2 A2 中的 每个划分块 , 都含于 A 1 \mathscr{A}_1 A1 中的某个划分块中 , 则称 A 2 \mathscr{A}_2 A2 是 A 1 \mathscr{A}_1 A1 的加细 ;- 4.加细关系列举 : ⪯ 1 = I π 1 ∪ { ; A 2 , A 1 ; } \preceq_1 = I_{\pi 1} \cup \{ ;\mathscr{A}_2, \mathscr{A}_1; \} ⪯1=Iπ1∪{} ⑤ 集合 π 2 \pi_2 π2 上的加细关系分析 : 1.自己是自己的加细 : 每个划分 , 自己是自己的加细 , 因此 加细关系中 有 I π 2 I_{\pi 2} Iπ2 , ; A 3 , A 3 ; ;\mathscr{A}_3 , \mathscr{A}_3; , ; A 2 , A 2 ; ;\mathscr{A}_2 , \mathscr{A}_2; ;2.其它加细关系 : A 2 \mathscr{A}_2 A2 和 A 3 \mathscr{A}_3 A3 这两个划分互相不是加细 , 因此 该集合中没有其它加细关系 ;- 4.加细关系列举 : ⪯ 2 = I π 2 \preceq_2 = I_{\pi 2} ⪯2=Iπ2 ⑥ 集合 π 3 \pi_3 π3 上的加细关系分析 : 1.自己是自己的加细 : 每个划分 , 自己是自己的加细 , 因此 加细关系中 有 I π 3 I_{\pi 3} Iπ3 , ; A 1 , A 1 ; ;\mathscr{A}_1 , \mathscr{A}_1; , ; A 2 , A 2 ; ;\mathscr{A}_2 , \mathscr{A}_2; , ; A 3 , A 3 ; ;\mathscr{A}_3 , \mathscr{A}_3; , ; A 4 , A 4 ; ;\mathscr{A}_4 , \mathscr{A}_4; , ; A 5 , A 5 ; ;\mathscr{A}_5 , \mathscr{A}_5; ;2.其它加细关系 : ① 与 A 5 \mathscr{A}_5 A5 划分相关的加细 : A 5 \mathscr{A}_5 A5 是划分最细的 等价关系 , A 5 \mathscr{A}_5 A5 是其它所有 划分 的加细 , 因此有 ; A 5 , A 4 ; ;\mathscr{A}_5 , \mathscr{A}_4; , ; A 5 , A 3 ; ;\mathscr{A}_5 , \mathscr{A}_3; , ; A 5 , A 2 ; ;\mathscr{A}_5 , \mathscr{A}_2; , ; A 5 , A 1 ; ;\mathscr{A}_5 , \mathscr{A}_1; ;② 与 A 1 \mathscr{A}_1 A1 划分相关的加细 : A 1 \mathscr{A}_1 A1 是划分最粗的 等价关系 , 所有的划分 都是 A 1 \mathscr{A}_1 A1 的加细 , 因此有 ; A 5 , A 1 ; ;\mathscr{A}_5 , \mathscr{A}_1; , ; A 4 , A 1 ; ;\mathscr{A}_4 , \mathscr{A}_1; , ; A 3 , A 1 ; ;\mathscr{A}_3 , \mathscr{A}_1; , ; A 2 , A 1 ; ;\mathscr{A}_2 , \mathscr{A}_1; ; 4.加细关系列举 :⪯ 3 = I π 3 ∪ { ; A 5 , A 4 ; , ; A 5 , A 3 ; , ; A 5 , A 2 ; , ; A 5 , A 1 ; , ; A 4 , A 1 ; , ; A 3 , A 1 ; , ; A 2 , A 1 ; } \preceq_3 = I_{\pi 3} \cup \{ ;\mathscr{A}_5 , \mathscr{A}_4; , ;\mathscr{A}_5 , \mathscr{A}_3; , ;\mathscr{A}_5 , \mathscr{A}_2; , ;\mathscr{A}_5 , \mathscr{A}_1; , ;\mathscr{A}_4 , \mathscr{A}_1;, ;\mathscr{A}_3 , \mathscr{A}_1;, ;\mathscr{A}_2 , \mathscr{A}_1; \} ⪯3=Iπ3∪{,,,,,,} |
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