一文速学数模

灰色预测模型是通过少量的、不完全的信息，建立数学模型做出预测的一种预测方法。是基于客观事物的过去和现在的发展规律，借助于科学的方法对未来的发展趋势和状况进行描述和分析，并形成科学的假设和判断。

我们称信息完全未确定的系统为黑色系统，称信息完全确定的系统为白色系统，灰色系统就是这介于这之间，一部分信息是已知的，另一部分信息是未知的，系统内各因素间有不确定的关系。

不知道大家知不知道白盒测试和黑盒测试，我们可以这样通俗的理解，黑色系统就好比一个黑色的盒子你看不到里面装着几个小球，从里面拿出几个小球或者是章鱼都是未知数。而白色系统就像是透明的盒子，你能很清楚的看到里面是什么你想要拿什么出来拿多少个。而这个灰色系统介于他们之间，盒子是灰色的，只能模糊的看到一些小球，看不到几个或者是有除了小球以外的其他东西。

灰色预测通过鉴别系统因素之间发展趋势的相异程度，即进行关联分析，并对原始数据进行生成处理来寻找系统变动的规律，生成有较强规律性的数据序列，然后建立相应的微分方程模型，从而预测事物未来发展趋势的状况。其用等时距观测到的反映预测对象特征的一系列数量值构造灰色预测模型，预测未来某一时刻的特征量，或达到某一特征量的时间。

灰色预测模型可针对数量非常少（比如仅4个），数据完整性和可靠性较低的数据序列进行有效预测，其利用微分方程来充分挖掘数据的本质，建模所需信息少，精度较高，运算简便，易于检验，也不用考虑分布规律或变化趋势等。但灰色预测模型一般只适用于短期预测，只适合指数增长的预测，比如人口数量，航班数量，用水量预测，工业产值预测等。

总体建模流程可以参考：

首先我们要保证该数据适用于GM(1,1)模型，那么就要对已知数据进行校验是否可用。

假设原始数据:

计算数列的级比:

如果所有的级比都落在内，则数列可以作为模型GM(1,1)的数据进行灰色预测。如果没通过，对数列做变化处理，使其落入范围内。即取适当的常数c**，做平移交换：**

再进行级比检验，直至通过或者更换模型。

对原始数据列做一次累加(AGO)生成数列:

其中：

对应的微分方程为：(a为发展系数，u为灰作用量）

接下来就到了最关键的一部，想要求解上述微分方程：

就必须解出系数a和b，让微分方程的解与真实的已知数据最接近。函数表达式的参数a和u未知，而变量t和x^(1)的数值已知，这种问题就要用最小二乘法，通过最小化误差的平方和求得最佳的参数a和b。

1、数据是离散的而不是连续的，所以：

写作

2.根据累加生成序列公式可知：

3.由1和2可得到

4.移项得：

5、式子左边是已知数据，右边就是含有未知数的函数，此时就可用最小二乘法求出参数a和u

对于最小二乘法的求解在我的一篇文章有详细描述：

一文速学-最小二乘法曲线拟合算法详解+项目代码

这里就不再展开描述求解过程，仅对于计算后的结果构成：

数据矩阵：

数据向量：

其中为加权平均值：

计算系数(最小二乘法)：

对前面的微分方程求解可得：

由上面三式可得：(最终结果)

残差检验:

如果