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数学建模（一）
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一、题目要求二、相关的基础知识2.1 马尔萨斯(Malthus)人口指数增长模型2.2 逻辑斯蒂(Logistic)增长模型2.3 改进的Logistic模型2.4 BP神经网络模型
三、模型的建立与求解3.1 Malthus模型3.2 Logistic模型3.3 改进的Logistic模型3.4 BP神经网络模型
四、人口数量的预测及分析
一、题目要求
1790-1980年间美国每隔10年的人口数量记录如下表所示。 表1 1790-1980年间美国每隔10年的人口数量记录表 年份17901800181018201830184018501860187018801890190019101920193019401950196019701980人口 ( × 1 0 6 ) \left (\times 10^{6} \right ) (×106)3.95.37.29.612.917.123.231.438.650.262.976.092.0106.5123.2131.7150.7179.3204.0226.5 1.试用以上数据建立马尔萨斯(Malthus)人口指数增长模型，对接下来的每隔十年预测五次人口数量，并查阅实际数据进行比对分析。2.如果数据不相符，再对以上模型进行改进，寻找更为合适的模型进行预测，并对两次预测结果进行对比分析。 二、相关的基础知识关于人口增长的模型常用的有马尔萨斯人口指数增长模型、Logistic增长模型以及改进的Logistic模型，它们常被用于预测人口增长。本次问题求解中除了使用这三种常用的人口增长模型外，还使用了BP神经网络模型来预测人口。 2.1 马尔萨斯(Malthus)人口指数增长模型提出： 马尔萨斯模型来自于英国经济学家托马斯·罗伯特·马尔萨斯于1798年发表的《人口原理》。 马尔萨斯的人口论指出： 在没有生存资源限制的情况下，人口或生物种群的数量成指数增长。 定义： 关于人口或种群增长的模型。 模型的建立： 人口数量在单位时间内增长的百分比 r r r 是一定的，写成一个微分方程的形式，设 t = 0 t = 0 t=0时刻的人口数量为 N 0 N_{0} N0，则 t t t 时刻的总人口 N t N_{t} Nt满足 1 N t d N t d t = r ⇒ N t = N 0 e r t \frac{1}{N_{t}}\frac{dN_{t}}{dt}=r\Rightarrow N_{t}=N_{0}e^{rt} Nt1dtdNt=r⇒Nt=N0ert 马尔萨斯认为，如果人口长期不受控制的话，指数增长的速度会十分惊人，生存资源的增长速度将无法满足众多人口的生存需要，从而产生一系列人口问题，严重时甚至会爆发饥荒、战争和疾病来除去资源与环境无法承受的过剩人口。 2.2 逻辑斯蒂(Logistic)增长模型马尔萨斯人口论自提出以来，就一直是一个备受争议的理论。例如：在受到资源环境限制的情况下，人口还能否做指数爆炸式的增长呢？假设资源环境能承受的人口数量为 K K K，则可以建立一个Logistic方程 1 N t d N t d t = r ( 1 − N t K ) \frac{1}{N_{t}}\frac{dN_{t}}{dt}=r\left (1-\frac{N_{t}}{K} \right ) Nt1dtdNt=r(1−KNt) 这个方程将得出仅在人口 N t < < K N_{t}dtdN(t)=rN(t)[1−KN(t)]N(0)=N0 其中， K K K表示最大环境容纳量。 求解该微分方程模型可解得第 t t t年的人口数量为 N ( t ) = K 1 + ( K N 0 − 1 ) e − r ( t − t 0 ) N\left ( t \right )=\frac{K}{1+\left ( \frac{K}{N_{0}} -1\right )e^{-r(t-t_{0})}} N(t)=1+(N0K−1)e−r(t−t0)K 模型的求解 使用MATLAB的cftool工具箱对数据进行拟合：  拟合得：
k
=
285.9
，
r
=
0.0287
k =285.9，r = 0.0287
k=285.9，r=0.0287 模型为：
x
(
t
)
=
285.9
/
(
1
+
(
285.9
/
3.9
−
1
)
∗
e
x
p
(
−
0.0287
∗
(
t
−
1790
)
)
)
x(t) = 285.9/(1+(285.9/3.9-1)*exp(- 0.0287*(t-1790)))
x(t)=285.9/(1+(285.9/3.9−1)∗exp(−0.0287∗(t−1790)))
3.3 改进的Logistic模型
模型的建立 虽然Logistic模型考虑了环境容纳量，认为增长率是随着人口的增加而递减的，但是Logistic模型中的增长率是线性递减的。事实上，随着人口的增加，人口基数越来越大，出生率也是增大的，导致增长率的减小是逐渐缓慢的。因此，增长率的逐年递减是非线性的。设人口自然增长率
r
(
t
)
=
r
N
(
t
)
[
1
−
l
n
N
(
t
)
l
n
K
]
r(t)=rN(t)\left [ 1-\frac{lnN(t)}{lnK} \right]
r(t)=rN(t)[1−lnKlnN(t)]，则其数学模型为：
{
d
N
(
t
)
d
t
=
r
N
(
t
)
[
1
−
l
n
N
(
t
)
l
n
K
]
N
(
0
)
=
N
0
\left\{\begin{matrix} \frac{dN\left ( t \right )}{dt}=rN\left ( t \right )\left [ 1-\frac{lnN(t)}{lnK} \right ]\\ N\left ( 0 \right )=N_{0}\begin{matrix} & & & & & & \end{matrix} \end{matrix}\right.
{dtdN(t)=rN(t)[1−lnKlnN(t)]N(0)=N0
求解该微分方程模型可解得第 t t t年的人口数量为 N ( t ) = K [ ( N 0 K ) e − r ( t − t 0 ) l n K ] N(t)=K\left [ (\frac{N_{0}}{K})e^{\frac{-r(t-t_{0})}{lnK}} \right ] N(t)=K[(KN0)elnK−r(t−t0)] 模型的求解 使用MATLAB的cftool工具箱对数据进行拟合：  拟合参数得：
k
=
1084
，
r
=
0.04687
k =1084，r =0.04687
k=1084，r=0.04687 模型为：
x
(
t
)
=
1084
∗
(
(
3.9
/
1084
)
x(t)= 1084*((3.9/1084)
x(t)=1084∗((3.9/1084)^
e
x
p
(
−
0.04687
∗
(
t
−
1790
)
/
l
o
g
(
1084
)
)
)
exp(-0.04687*(t-1790)/log(1084)))
exp(−0.04687∗(t−1790)/log(1084)))
3.4 BP神经网络模型
模型的建立 我们将BP神经网络模型用于对人口增长的预测，在建立的BP神经网络模型中，输入为年份
t
t
t，输出为年份对应的人口数量
N
(
t
)
N(t)
N(t)。输入和输出神经元个数均为1，由于三层神经元网络可以实现对任意非线性问题的逼近，因此设隐藏层为1，神经元个数为2。BP神经网络结构图如下图所示：  模型的求解 用1790-1980年间美国每隔10年的人口数量作为训练集，用1990-2030年间美国每隔10年的人口数量作为测试集，设训练次数为1000，训练目标最小误差为0.1，学习速率为0.01。代码如下：
%利用BP神经网络对人口进行预测
clear
clc
%%% 读取原始数据
num=xlsread('E:\MATLAB\R2012a\bin\数学建模\1790-1980间美国人口数据.xlsx'); %num返回的是excel中的数据
year=num(1,:);
population=num(2,:);
%%% 利用已知数据训练BP网络
x=year;
y=population;
net=newff(x,y,2); %生成输入、输出均为一个神经元，隐含层2个神经元的BP网络
net.trainParam.epochs = 1000; % 训练次数，这里设置为1000次(训练的最大次数)
net.trainParam.goal = 0.1; % 训练目标最小误差，这里设置为0.1
net.trainParam.lr = 0.01; % 学习速率，这里设置为0.01
net=train(net,x,y); %训练网络
%%% 预测1790-1980间人口数量
population_pre=sim(net,year);
plot(year,population,'*b','MarkerSize',8);hold on
plot(year,population_pre,'or','MarkerSize',8);hold on
plot(year,population,'b','LineWidth',2);hold on
plot(year,population_pre,'r','LineWidth',2);grid on
legend('人口自然增长','拟合曲线')
xlabel('年份')
ylabel('人口/百万')
title('利用BP神经网络进行人口预测')
%%% 预测1980-2030间人口数量
Year_pre=1790:10:2030;
Population_pre_BP=sim(net,Year_pre);% 在m文件中向Simulink模型传递参数，并运行模型，得到模型运行的结果数据
POPUS=[population,250.181,282.413,310.483,326.767];
errors=sum(abs(Population_pre_BP(1:end-1)-POPUS));
fprintf('总误差:%f\n',errors)
save Population_pre_BP Population_pre_BP
用1790-1980年间美国每隔10年的人口数量作为训练集去拟合模型，用拟合好的模型去预测1990-2030年间美国每隔10年的人口数量，并计算每个模型所预测的1790-2030年间美国每隔10年的人口数量与真实值之间的误差和 E E E。 表2 1990-2030年间美国每隔10年的人口数量记录表 年份19902000201020202030人口 ( × 1 0 6 ) \left (\times 10^{6} \right ) (×106)250.181282.413310.483326.767—— Malthus模型 表3 Malthus模型对1990-2030年间美国每隔10年的人口数量进行预测的结果 年份19902000201020202030人口 ( × 1 0 6 ) \left (\times 10^{6} \right ) (×106)331.9474414.5429517.6900646.5022807.3656经过预测后计算可得， Malthus模型预测的总误差为1070.944344(百万)。 Logistic模型 表4 Logistic模型对1990-2030年间美国每隔10年的人口数量进行预测的结果 年份19902000201020202030人口 ( × 1 0 6 ) \left (\times 10^{6} \right ) (×106)231.9765243.4314252.8001260.3193266.2630经过预测后计算可得， Logistic模型预测的总误差为265.616329(百万)。 改进的Logistic模型 表5 改进的Logistic模型对1990-2030年间美国每隔10年的人口数量进行预测的结果 年份19902000201020202030人口 ( × 1 0 6 ) \left (\times 10^{6} \right ) (×106)248.8625273.7884299.3514325.4116351.8302经过预测后计算可得， 改进的Logistic模型预测的总误差为67.551021(百万)。 BP神经网络模型 表6 BP神经网络模型对1990-2030年间美国每隔10年的人口数量进行预测的结果 年份19902000201020202030人口 ( × 1 0 6 ) \left (\times 10^{6} \right ) (×106)252.1015277.7805303.0367327.2741349.9891经过预测后计算可得， BP神经网络模型预测的总误差为54.471387(百万)。 四种模型预测结果对比 表7 四种模型对1990-2030年间美国每隔10年的人口数量进行预测的结果进行对比
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四种模型对1990-2030年的美国人口进行预测的结果进行对比如上表所示，可以看出Malthus模型、Logistic模型、改进的Logistic模型、BP神经网络模型四种模型中Malthus模型的误差是最大的，而BP神经网络模型的误差是最小的，可以说明对这一时期的美国人口而言，BP神经网络模型的效果是比较好的。【本文地址】