小学数学

《数学广角—鸽巢问题（一）》教学设计【教学内容】新人教版课标教材小学数学六年级下册第五单元数学广角第68页例1。【教学目标】1.通过操作、观察、比较、分析、推理、抽象概括，引导学生经历鸽巢原理的探究过程，初步了解鸽巢原理，会用鸽巢原理解释生活中的简单问题。2.在探究的过程中，渗透模型思想，培养学生的推理和抽象思维能力。3.使学生感受数学的魅力，培养学习数学的兴趣。【教学重点】经历鸽巢原理的探究过程，初步了解鸽巢原理，会用鸽巢原理解释生活中的简单问题。【教学难点】理解鸽巢原理，并对一些简单的实际问题加以模型化认知。【教学过程】

课前交流：神机妙算一、承接课前谈话，导入新课：一个人算事情非常准用哪个成语来形容，想不想见识下老师的神机妙算？老师猜测22个同学中总有一个季节里至少有6个同学出生。你觉得老师猜的准不准？现场统计每个季节的人数，生发现一定有一个季节的人数至少是6人。想不想知道这是为什么？其实这里面蕴含着一个数学问题，学完今天的内容你就能明白其中的道理。二、通过操作，探究新知（一）出示例1把4枝铅笔放进3个笔筒中，不管怎么放，总有一个笔筒里至少有（）枝铅笔。你认为那些词语是这句话的关键词？（“总有”和“至少”）师：它们是什么意思？生：“总有”表示“一定有”、“肯定有”。“至少”表示“最少”、“最起码”。1．列举法（1）那你认为这种说法对吗？（生回答）你打算怎么来验证这种说法对不对呢？（可以通过摆一摆、画一画、写一写等方法把自己的想法表达出来）（2）小组合作验证。小组探究要求：1、所有铅笔都必须放进笔筒，不考虑笔筒顺序，只考虑笔筒内铅笔支数。2、组长记录。3、找出每一种摆法中数量最多的圈出来。4、小组讨论得出结论。学生分组操作，填写《鸽巢问题》探究记录单一（3）汇报探究结果。展示各小组的“探究记录单”（投影展示）根据学生摆的情况，老师按照一定顺序排列起来。板书各种情况：（4，0，0）（3，1，0）（2，2，0）（2，1，1）还有不同的放法吗？（4）强调有序思考：为了不遗漏不重复，我们需要有序地思考、分放。(边说边演示：第一种情况:把4支笔都放进一个笔筒里。第二种情况:先把3支笔放进一个笔筒里。第三种情况:先把2支笔放进一个笔筒里。第四种情况:每个笔筒先放1支笔。)（5）共同分析不管怎么放每种情况例每个笔筒里最少放了多少支？（6）得出结论：（无论怎么放，总有一个笔筒里至少放进2支笔）至少数是多少？（2）师：刚才我们把所有的情况都一一列举出来，我们把这种放法，叫做列举法。在使用这种方法的时候，一定要有序思考，才能不重复不遗漏。（7）、利用刚才的方法快速试一试5支笔放进4个笔筒，总有一个笔筒里至少放进（）支铅笔。生自主排列，然后汇报交流。【生本体现处】变“以教为主”为“以学定教”，让学生通过合作探究实现师教生、生教生，师生互动、生生互动，真正由“学会”到“会学”。2．假设法（1）遇到这种问题的时候，是不是一定要把所有情况都一一列举出来呢？比如把100支铅笔放进99个笔筒，要把所有情况列举出来就会非常麻烦。会不会有这样一种放法，不用把所有的情况都一一列举出来，就能很快地知道总有一个笔筒至少放几支笔？大家讨论讨论。（2）学生讨论，汇报。生：先把3支铅笔分别放在三个笔筒里，剩下一个无论放在哪个笔筒里，总有一个笔筒至少放进两只笔。（根据学生回答课件演示）这种分发实际上是怎样分的？（平均分）怎么列式？剩下一支铅笔怎么办？谁能再说一说是怎么分的？（假设每个笔筒里先放1支铅笔，最多放3支，剩下的1支无论放进哪个笔筒里，总有一个笔筒里至少放2支笔）。师：我们把这种方法叫做假设法。3．把5支铅笔放进4个笔筒里，不管怎么放，总有一个抽屉里至少放（）个铅笔。为什么？（根据学生的回答，课件演示）4.（1）出示表格：把6支铅笔放进5个笔筒里，不管怎么放，总有一个笔筒里至少放（）个铅笔。把7支铅笔放进6个笔筒里，不管怎么放，总有一个笔筒里至少放（）个铅笔。（2）你有什么发现？只要铅笔的数量比笔筒的数量多1，总有一个笔筒至少要放进2支铅笔。（3）观察表格，至少数应该等于什么？至少数=？生通过观察会得出结论至少数=商+余数5．讨论：5只鸽子飞进3个鸽笼，总有一个鸽笼至少飞进()只鸽子？

（小组讨论后，汇报交流）小结：至少数=商＋1，不是商＋余数。（板书）6．讨论：6只鸽子飞进3个鸽笼，总有一个鸽笼至少飞进()只鸽子？没有余数时，至少数=商。（板书）7．8支鸽子飞回7个鸽巢。

10个苹果放进9个抽屉。8．小结，构建模型：回顾一下刚才的几种情景：把铅笔放进文具盒，小球放进抽屉，鸽子飞回鸽巢，这些问题有什么相同点？有什么规律？引导学生发现：铅笔、小球、鸽子等都可以看作是待分的物体，文具盒、小球、鸽子等都可以看作是盛放这些物体的鸽巢。待分物体都比鸽巢多一，那么，总有一个鸽巢至少放进两个待分物体。这就是我们刚上课时所说的著名的数学原理—鸽巢原理。【生本体现处】由上述现象推出鸽巢原理这一数学原理，引导学生学会观察、分析、总结。9．普及数学史知识知道鸽巢原理最早是由谁提出来的吗？简介德国数学家狄利克雷与鸽巢原理。不管做什么事情，我们要善于发现、善于总结，说不定以后的数学史上也会出现由我们名字命名的原理！【德育渗透点】通过介绍中国运用鸽巢原理的案例，教育学生善于发现、善于总结，同时激发学生的国家荣誉感，感受作为中国人的使命。10.其实，简单的说，鸽巢原理就是待分的物体多，抽屉少，那么至少有两个待分的物体放进同一个抽屉里。三、运用模型，解释应用1．现在，你能利用刚学习的鸽巢原理知识来解释一下老师的神机妙算吗？在22位同学中，为什么至少有6人在同一个季节里出生？生说出什么看做待分的物体，什么看做鸽巢。2．鸽巢原理在生活中随处可见，它其实就是解决该类问题的一种方法，一个模型。找一找，生活中的鸽巢问题：（文具盒原理，口袋原理，5个人一起，至少有两个人是在同一季节出生的等）师：把什么看做待分的物体？抽屉？解决这类问题的关键是什么？师：在解决这类问题时，关键是要看清什么是待分的物体，什么是抽屉。四、拓展延伸随意找30位同学，他们中至少有（）属相相同。这是我们下节课要学习的问题，跟我们这节课所学内容类似，但又有区别，大家可以在课下先讨论一下。板书设计：鸽巢问题50004004100列举法(有序)3103200220311021122102111假设法待分物体数÷鸽巢数平均分至少数=商+1=商《数学广角—鸽巢问题（一）》学情分析一、学情分析“鸽巢原理”在生活中运用广泛，学生在生活中常常能遇到实例，但并不能有意识地从数学的角度来理解和运用“鸽巢原理”。教学中应有意识地让学生理解“鸽巢原理”的“一般化模型”。六年级学生的逻辑思维能力、小组合作能力和动手操作能力都有了较大的提高，加上已有的生活经验，很容易感受到用“鸽巢原理”解决问题带来的乐趣。二、教学理念激趣是新课导入的抓手，喜欢和好奇心比什么都重要，以“老师的神机妙算”引入，让学生置身在疑惑中开始学习，为理解鸽巢原理埋下伏笔。通过小组合作，动手操作的探究性学习把鸽巢原理较为抽象难懂的内容变为学生感兴趣又易于理解的内容。特别是对教材中的结论“总有、至少”等字词作了充分的阐释，帮助学生进行较好的“建模”，使复杂问题简单化，简单问题模型化，充分体现了新课标要求。《数学广角—鸽巢问题（一）》效果分析本节课是通过几个直观例子，借助实际操作，引导学生探究“抽屉原理”，初步经历“数学证明“的过程，并有意识的培养学生的“模型思想。1、

激趣是新课导入的抓手，喜欢和好奇心比什么都重要，以“老师的神机妙算”引起学生的兴趣，从而让学生对本课研究的积极性，为理解抽屉原理埋下伏笔。通过小组合作，动手操作的探究性学习把抽屉原理较为抽象难懂的内容变为学生感兴趣又易于理解的内容。特别是对教材中的结论“总有、至少”等字词作了充分的阐释，帮助学生进行较好的“建模”，使复杂问题简单化，简单问题模型化，充分体现了新课标要求。2、借助直观操作，经历探究过程。教师注重让学生在操作中，经历探究过程，感知、理解抽屉原理。3、教师注重培养学生的“模型”思想。通过一系列的操作活动，学生对于枚举法和假设法有一定的认识，加以比较，分析两种方法在解决抽屉原理的优超性和局限性，使学生逐步学会运用一般性的数学方法来思考问题。4、在活动中引导学生感受数学的魅力。本节课的“抽屉原理”的建立是学生在观察、操作、思考与推理的基础上理解和发现的，学生学的积极主动。特别以游戏引入，又以游戏结束，既调动了学生学习的积极性，又学到了抽屉原理的知识，同时锻炼了学生的思维。在整节课的教学活动中使学生感受了数学的魅力。

《数学广角──鸽巢问题（一）》教材分析一、教学内容新人教版课标教材小学数学六年级下册第五单元数学广角第68页例1。二、教学目标1.通过操作、观察、比较、分析、推理、抽象概括，引导学生经历鸽巢原理的探究过程，初步了解鸽巢原理，会用鸽巢原理解释生活中的简单问题。2.在探究的过程中，渗透模型思想，培养学生的推理和抽象思维能力。3.使学生感受数学的魅力，培养学习数学的兴趣。三、教学重点经历鸽巢原理的探究过程，初步了解鸽巢原理，会用鸽巢原理解释生活中的简单问题。四、教学难点理解鸽巢原理，并对一些简单的实际问题加以模型化认知。五、课标定位（一）让学生初步经历“数学证明”的过程在数学上，一般是用反证法对“抽屉原理”进行严格证明。在小学阶段，虽然并不需要学生对涉及“抽屉原理”的相关现象给出严格的、形式化的证明，但仍可引导学生用直观的方式对某一具体现象进行“就事论事”式的解释。教学的过程就是教师鼓励学生借助学具、实物操作或画草图的方式进行“说理”。实际上，通过“说理”的方式来理解“抽屉原理”的过程就是一种数学证明的雏形。通过这样的方式，有助于逐步提高学生的逻辑思维能力，为以后学习较为严密的数学证明做准备。（二）要有意识地培养学生的“模型思想”本单元讲的“鸽巢问题”，实际就是一个“抽屉原理”问题。“抽屉问题”的变式很多，应用更具灵活性。当我们面对一个具体的问题时，能否将这个具体问题与“抽屉问题”联系起来，能否找到该问题中的具体情境和“抽屉问题”的一般化模型之间的内在关系，能否找出该问题中什么是“待分的东西”，什么是“抽屉”，是能否解决该问题的关键因素。因此，教师教学时，要引导学生先判断某个问题是否属于用“抽屉原理”可以解决的范畴，如果可以，再思考如何寻找隐藏在其背后的“抽屉问题”的一般化模型。这个过程，实际上是学生经历将具体问题“数学化”的过程，是从复杂的现实素材中寻找本质的数学模型的过程。这样的过程，可有效地发展学生的数学思维能力，尤其可增强学生对“模型思想”的体验，增强运用能力。六、教材例题分析例1：本例描述“抽屉原理”的最简单的情况。着重探讨为什么这样的结论是成立的。教材呈现了两种思考方法：第一种方法是用操作的方法罗列所有的方法，通过完全归纳的方法看到在这四种情况都是满足结论的；还可以是说理的方式，先放3支，在每个笔筒里放1支，这时剩下1支。剩下的1支不管放入哪一个笔筒中，这时都会有一个笔筒里有2支铅笔。这种方法比第一种方法更为抽象，更具有一般性。通过本例的教学，使学生感知这类问题的基本结构，掌握两种思考的方法──枚举和假设，理解问题中关键词语“总有”和“至少”的含义，形成对“抽屉原理”的初步认识。例2：本例描述“抽屉原理”更为一般的形式，即“把多于（是正整数）个物体任意分放进个空抽屉里，那么一定有一个抽屉中放进了至少（+1）个物体”。教材首先探究把7本书放进3个抽屉里，总有一个抽屉里至少放进3本书的情形。当数据变得越来越大时，如果还用完全归纳的方法把所有的情形罗列出来的话，对于学生来说是有困难的。这时需要学生用到“反证法”这样一种思想，即如果所有的抽屉最多放2本，那么3个抽屉里最多放6本书，可是题目中是7本书，还剩1本书，怎么办？这就使学生明白只要放到任意一个抽屉里即可，总有一个抽屉里至少放进3本书。通过这样的方式，实际上学生是在经历“反证法”的这样一个过程。在具体编排这道例题的时候，在数据上进行了一个很细微的调整。在过去，由于数据的问题，学生会得到不太正确的推论，比如说如果是两个抽屉的话，最后得到的余数总是1，那么学生很容易得到一个错误的结论：总有一个抽屉里放进“商+余数”本书（因为余数正好是1）。而实际上，这里的结论应该是“商+1”本书，所以教材在这里呈现了8除以3余2的情况，这时候余数是2，可是最后的结论还是“把8本书放进3个抽屉里，总有一个抽屉至少放进了3本书”。通过这样的数据方面的调整，可以让学生得到一个更加正确的推论。例3：跟之前教材的编排是一样的，是抽屉原理的一个逆向的应用。要解决这个问题，可以把两种“颜色”看成两个“抽屉”，“同色”就意味着“同一个抽屉”。这样，就可以把“摸球问题”转化为“抽屉问题”。教材通过学生的对话，指出了可以通过先猜测再验证的方法来解决问题，也反映了学生在解决这个问题时可能会遇到的困难。很多学生误以为要摸5次才可以摸出球，这可以让学生通过实验来验证。在教学中要注意的问题：第一，要让学生经历数学证明的过程，在这里不是让学生计算抽屉原理，去应用，而更多的是给出一个结论，让学生去证明这种结论的正确性，这就是一种数学证明的思想；第二，要有意识地培养学生的模型思想。因为“抽屉原理”在生活中的变式是多样的，比如让学生判断13个孩子中一定有两个人的生日在同一个月份，让学生去判断367个孩子中一定有两个人的生日是同一天……在解决这些问题的过程中，教师要引导学生明确什么是抽屉原理中的“物体”，什么是“抽屉”，让学生把这些具体问题模型化成一个“抽屉问题”。第三，重视实践活动，帮助学生在自主探究中理解原理，将具体的情况推广到一般。在例1中给出具体的问题（4支铅笔放到3个笔筒里），让学生在探究的过程中，逐渐找到一般的规律。第四，恰当保持教学要求，因为数学广角内容只是让学生经历这样的数学思想的感悟，在评价上不做特别高的要求。七、本单元的教学重难点是初步了解“抽屉原理（鸽巢原理）”，培养学生的“模型思想”。突破建议：1．在直观操作中理解“抽屉原理”的有关概念，初步了解“抽屉原理”的结构特征。教学时要借助直观，让学生在亲身经历（看到、摸到）的基础上，深刻感受分的过程和分的结果，积累对“抽屉原理”的感性认识。这既可降低学生学习的难度，又可使学生充分地理解“总有”“至少”等特定术语的含义，清晰地建立“待分物品”和“抽屉”之间的关系。例如，在教学例1时，通过直观地摆铅笔的经历，学生发现“把4支铅笔放进3个笔筒中”一共只有四种情况。在每一种情况中，都一定有一个笔筒中至少有2支铅笔。针对实验的所有结果，再次组织学生展开讨论交流，“‘总有’和‘至少’是什么意思？”“你确定结论的正确性吗？”在学生总结表征的基础上，进而提出“你还可以怎样想？”的问题，教学时借助平均分（必要时也可实际进行操作，即每个笔筒里先只放1支），这时学生看到还剩下1支铅笔，这1支铅笔不管放入其中的哪一个笔筒，这个笔筒都会有2支铅笔。进一步引导学生加深对“至少有一个笔筒中有2支铅笔”的理解。最后，可组织学生进一步借助直观操作，讨论诸如“5支铅笔放进4个笔筒，不管怎么放，总有一个笔筒中至少有2支铅笔，为什么？”的问题，并不断改变数据（铅笔数比笔筒数多1），让学生继续思考，引导学生归纳得出一般性的结论：（+1）支铅笔放进个笔筒里，总有一个笔筒里至少放进2支铅笔。2．引导学生在经历猜测、尝试、验证的过程中逐步从直观走向抽象。本单元的学习，教学的目的不是让学生计算抽屉原理，去应用，而更多的是给出一个结论，让学生去证明这种结论的正确性。这样，这实质上是一种数学证明的思想的渗透教学。因此，教学时应让学生经历猜测、尝试、验证的探究过程，并在此过程中引导学生逐步从直观走向抽象。例如教学例2时，可以直接让学生想办法解释结论，在学生汇报总结出用直观枚举、分解数、用“平均分”来假设等思考方法的同时，组织学生进一步比较这几种方法的优缺点，使学生认识到直观方式终究具有一定的局限性，进而意识到假设法的优越性。在此基础上，对假设法进行强化教学，使得学生对知识和方法进行牢固掌握。此外，针对“抽屉原理”的问题的变式多，应用更具灵活性，教师更应在平时的练习中帮助学生思考如何将具体问题与“抽屉原理”建立联系，引导学生探究如何建立问题中的具体情境和“抽屉原理”的一般化模型之间的内在关系。比如说，让学生去判断13个孩子中一定有两个人的生日在同一个月份，让学生去判断367个孩子中一定有两个人的生日是同一天。在解决这些问题的过程中，明确什么是“抽屉原理”中的“物体”，什么是“抽屉”，这既是能否解决问题的关键因素，又是学生经历将具体问题“数学化”的过程，即从复杂的现实素材中找出本质的数学模型的过程，有效地增强学生对“模型思想”的体验和认识理解。鸽巢问题（一）评测练习（当堂达标）班级_______姓名________1.5个人坐4把椅子，总有一把椅子上至少坐2人。为什么？2.学校图书馆有16名小学生在看书，这个学校小学共有6个年级，至少有几名同学是同一年级的？3.一副扑克牌取出大小王后，取出5张至少有几张同一花色的？4、13名同学中至少有几位同学是同一属相的？15名呢？5、367个孩子中至少有几人的生日在同一天？《数学广角—鸽巢问题（一）》课后反思鸽巢原理是一个重要而又基本的数学原理，通过本课教学向学生介绍抽屉原理的由来，并通过对一些简单实际问题进行模型化地研究，使学生理解抽屉原理。掌握一些研究问题的方法，达到会证明生活中的某些现象，会解决生活中的某些问题的目的。本课教学时主要分以下几个层次：一、创设情境，巧设悬念通过猜测验证为什么总有6位同学在同一季节出生这个情境引入，一是使教师和学生进行自然的沟通交流；二是调动和激发学生学习的主动性和探究欲望；三是为今天的探究埋下伏笔，初步理解“至少”的含义。二、合作探究，建立模型引导学生从简单的情况开始研究，渗透“建模”思想。通过学生独立证明、小组交流、汇报展示，使学生相互学习解决问题的不同方法。通过说理，沟通比较不同的方法，让学生理解：为什么只研究一种方法（平均分的思路）就能断定一定有“至少2只笔放进同一个笔筒中”这个过程主要解决对“至少”、“总有”“平均分”这些词的理解。再通过摆或假设法继续发现规律，在这个过程中抽象出算式，并在观察比较中全面概括、总结抽屉原理，建立起此类问题的模型。三、鸽巢原理的由来数学小知识鸽巢原理、抽屉原理的由来，向学生介绍了德国数学家——“狄里克雷”和他的“抽屉原理”。使学生感受到我们本课所发现的规律和150多年前科学家发现的一模一样，增加探究的成就感。同时了解到鸽巢原理最初的模型和在生活中的广泛应用，增加一些数学文化气息。四、解决问题通过举例、解决问题，开阔学生视野，回归课前，回归生活，通过不同类型题的