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原作者: 于品 本讲义是 2018 年秋季学期起随课程编写的、丘成桐数学英才班试用的数学分析讲义. 上传后的讲义仍然有很多影响观感的排版疏漏或笔误, 甚至可能有数学错误, 具体请参见本页面的讨论. 目录1数学分析一2数学分析二3数学分析三目录前言之一 前言之二 1数学分析一目录数学分析一简介 1 实数的公理化描述 2 区间套公理与确界原理, 距离空间 3 实数的构造: Dedekind 分割 作业: 可数与不可数, Schröder–Bernstein 定理 4 极限与收敛 5 收敛判别法 6 指数函数与三角函数的构造与性质 作业: Riemann 重排, Cesàro 求和, Banach–Mazur 游戏 7 乘积级数与 Riemann ζ 函数, 振荡级数的收敛判断, 完备赋范线性空间 作业: 素数的倒数和, Basel 问题的 Euler “证明” 8 函数的连续性 9 连续映射, 介值定理, 初等函数的构造 10 连续函数的拓扑刻画 作业: 拓扑与连续性 11 紧性与开覆盖, 一致连续性与函数列的收敛 12 利用级数收敛来构造连续函数, 距离空间的完备化 作业: 有无穷多素数的拓扑证明 期中考试: 连续函数环的极大理想 13 导数的定义与计算 14 导数的基本性质、应用与推广 15 中值定理的应用 作业: 高木贞治函数 16 空间填充曲线, L’Hôpital 法则, Taylor 展开 17 凸函数与 Jensen 不等式 作业: Émile Borel 引理, Peano 的证明 18 Riemann 积分的定义 19 Riemann 和与 Darboux 上下和 作业: Sturm–Liouville 理论的一个例子 20 Riemann 可积函数的刻画, Newton–Leibniz 公式 作业: Dini 定理, 多项式逼近与 Weierstraß–Stone 定理 21 Lebesgue 定理 22 积分的基本性质, 积分余项, 反常积分 23 历史注记: 微分与积分的交换定理, 含参积分 作业: ζ(2) 的无理性 24 常微分方程解的存在唯一性, Kepler 三大定律的证明, 变分法 25 最速降线问题, 积分中值定理 作业: 二平方和数的密度 26 第二积分中值定理, Stieltjes 积分 27 Stieltjes 积分的中值定理 作业: 振荡积分 28 一元微积分拾遗: Baire 纲定理, Liouville 定理 29 一元微积分拾遗: 振荡与衰减 期末考试: 两个积分的计算, 整系数多项式的逼近 寒假作业 2数学分析二目录数学分析二简介 30 高维的微分学: 高维函数的微分 31 映射的微分 作业: 齐次函数与 Euler 公式 32 微分同胚与光滑子流形 33 子流形的坐标表示, 反函数定理 习题课: 拓扑空间 作业: 反函数和隐函数定理 34 隐函数定理, 子流形的判定 35 子流形的原像定理, 切空间 作业: 隐函数定理, 经典群的子流形结构 36 子流形上的光滑映射与微分学 37 Hesse 矩阵与极值点, 凸函数 习题课: 球极投影 作业: Lagrange 乘子法, Morse 引理, 横截相交性 38 σ-代数, 可测空间与可测函数 39 测度与测度空间, Carathéodory 扩张定理 40 Lebesgue 测度及其性质 41 测度空间上的积分, Beppo Levi 定理 作业: 子流形与零测集, Stieltjes 测度, Borel–Cantelli 定理 42 可积函数空间, Fatou 引理和 Lebesgue 控制收敛定理 43 积分与求导的交换性, 乘积空间 习题课: 硬币空间的测度理论 作业: Lebesgue 控制收敛, 十进制小数的研究 44 乘积测度与 Fubini 定理 作业: Archimedes 对抛物线面积的计算, Gauss 积分 45 抽象换元积分, Borel 测度的正则性 46 常用的换元积分, 子流形上的积分 期中考试: 非 Borel 集的构造 47 子流形上的积分计算, Stokes 定理 48 Sard 型引理, Stokes 定理的微分拓扑证明 作业: 曲线曲面积分的计算 习题课: Riemann 积分的定义 1 49 子流形上的积分计算, 散度定理与 Green 公式 50 二维的 Brouwer 不动点定理, Hilbert 空间 51 L2 与 L∞ 的完备性, 卷积与逼近 作业: Stokes 定理的应用 习题课: Riemann 积分的定义 2 52 L1 函数的光滑逼近, Fourier 级数 53 Fourier 的 L2 理论 作业: 波动方程的局部能量估计 习题课: Riemann 积分的定义 3 54 光滑性–衰减速率关系, 积分核, 局部化引理 55 Fourier 级数的收敛理论 作业: Fourier 级数的计算, 三角函数与球谐函数 56 Bernstein 定理, 等分布定理 57 Roth 三项等差数列定理 作业: Fourier 级数几乎处处发散的 L1 函数 期末考试: Maaß 波函数的展开 3数学分析三目录数学分析三简介 58 分布的定义和例子 59 分布的操作: 限制, 求导及复合 60 分布的简单应用: Cauchy 积分公式 61 分布的局部刻画与支集 作业: 齐次分布, Hadamard 有限部分 62 分布的卷积 63 微分方程的基本解 作业: 分布的例子, 位势方程 64 可卷集, 波动算子的基本解 65 选读: 复分析相关知识简介 66 Fourier 分析, L1 上的 Fourier 变换 67 L2 上的 Fourier 变换, Schwartz 空间 作业: Fourier 逆变换, 分布的扩张与张量积 68 缓增分布的 Fourier 变换: 定义和基本例子 69 缓增分布的 Fourier 变换与卷积 70 波动方程和热方程的基本解 71 Sobolev 空间的基本性质, Sobolev 嵌入定理 作业: Heisenberg 测不准原理, Sobolev 空间的物理刻画 72 Sobolev 空间的对偶性, Sobolev 空间的限制定理 73 有界区域上的 Sobolev 空间, 位势方程的初步研究 期中测验 74 半空间上的 Sobolev 空间的限制与扩张 75 有界区域上 Sobolev 空间的扩张与限制至子流形 作业: 二维波动方程的基本解, Airy 函数与 KdV 方程 76 位势方程的解与椭圆正则性 习题: 一个弹性力学的模型 77 紧算子、自伴算子、弱收敛与谱理论 78 Laplace 算子的谱分解与特征函数 79 利用特征函数刻画函数空间 80 热核与热方程的基本性质 81 热核的估计、Weyl 渐近公式 82 波前集的定义与基本性质 83 非驻相法与微局部椭圆正则性 84 奇性传播定理 分布理论期末复习题一 分布理论期末复习题二 分布理论期末复习题三 |
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