函数极限与数列极限桥梁：Heine定理

先考虑数列极限与函数极限的 ε − N \varepsilon-N ε−N定义：

证明：

先证明必要性即 lim ⁡ x → x 0 f ( x ) = A ⇒ lim ⁡ n → ∞ f ( x n ) = A \lim\limits_{x\to x_0}f(x)=A\Rightarrow \lim\limits_{n\to \infty}f(x_n)=A x→x0​lim​f(x)=A⇒n→∞lim​f(xn​)=A。

由 lim ⁡ x → x 0 f ( x ) = A \lim\limits_{x\to x_0}f(x)=A x→x0​lim​f(x)=A可知，对于给定的 ε \varepsilon ε，存在一个 δ ( ε ) \delta(\varepsilon) δ(ε)使得对于 0 < ∣ x − x 0 ∣ < δ ( ε ) 0δn​}使得 δ n → 0 \delta_n\to 0 δn​→0，比如 δ n = 1 n \delta_n=\dfrac 1n δn​=n1​。对每一个 δ n \delta_n δn​，都自然地存在一个 x 0 ′ = x n x_0'=x_n x0′​=xn​满足 0 < ∣ x n − x 0 ∣ < 1 n , ∣ f ( x n ) − A ∣ > ε 0 . 0xn​}，满足 f ( x n ) ↛ A f(x_n)\nrightarrow A f(xn​)↛A。那么，如果所有趋向于 x 0 x_0 x0​但不等于 x 0 x_0 x0​的数列 { x n } \{x_n\} {xn​}都有 f ( x n ) → A f(x_n)\to A f(xn​)→A，那么一定就有 f ( x ) → A f(x)\to A f(x)→A。充分性得证。

关于Heine定理，需要注意的一点是，趋向于 x 0 x_0 x0​的数列 { x n } \{x_n\} {xn​}必须满足 x n ≠ x 0 x_n\ne x_0 xn​​=x0​这个条件，否则定理内容是不成立的。比如符号函数 s g n ( x ) {\rm sgn}(x) sgn(x)的绝对值 g ( x ) = ∣ s g n ( x ) ∣ g(x)=|{\rm sgn}(x)| g(x)=∣sgn(x)∣，满足 lim ⁡ x → 0 g ( x ) = 1 \lim\limits_{x\to 0}g(x)=1 x→0lim​g(x)=1，但是其收敛于 0 0 0的数列 { x n } , x n = 0 \{x_n\},x_n=0 {xn​},xn​=0有 lim ⁡ n → ∞ f ( x n ) = 0 \lim\limits_{n\to \infty}f(x_n)=0 n→∞lim​f(xn​)=0，其原因就是因为不满足 x n ≠ x 0 = 0 x_n\ne x_0=0 xn​​=x0​=0的条件。

Heine定理常用于证明函数极限不存在，最典型的例子就是 f ( x ) = sin ⁡ 1 x f(x)=\sin \dfrac 1x f(x)=sinx1​，构造两个子列： x n ( 1 ) = 1 n π , x n ( 2 ) = 1 2 n π + π / 2 , x_n^{(1)}=\frac {1}{n\pi},\quad x_n^{(2)}=\frac{1}{2n\pi+\pi/2}, xn(1)​=nπ1​,xn(2)​=2nπ+π/21​, 由 f ( x n ( 1 ) ) → 0 , f ( x n ( 2 ) ) → 1 f(x_n^{(1)})\to 0,f(x_n^{(2)})\to 1 f(xn(1)​)→0,f(xn(2)​)→1就说明 f ( x ) f(x) f(x)在 x = 0 x=0 x=0处不存在极限。

如果我们不关心函数收敛到的值，只从函数自身的情况出发判断函数极限存在性，那么Heine定理可以改成以下形式： lim ⁡ x → x 0 f ( x ) \lim\limits_{x\to x_0}f(x) x→x0​lim​f(x)存在的充要条件是，对于任意满足条件 lim ⁡ x → ∞ x n = x 0 \lim\limits_{x\to \infty}x_n=x_0 x→∞lim​xn​=x0​且 x n ≠ x 0 x_n\ne x_0 xn​​=x0​的数列 { x n } \{x_n\} {xn​}，相应的函数值数列 { f ( x n ) } \{f(x_n)\} {f(xn​)}收敛。

这个定理的充分性，只要注意到当 f ( x ) f(x) f(x)不收敛时，一定存在两个不同极限的数列 { x n ( 1 ) } \{x_n^{(1)}\} {xn(1)​}和 { x n ( 2 ) } \{x_n^{(2)}\} {xn(2)​}，将它们交错构成一个新数列，这个新数列的函数值列不收敛。

由此可以推出函数极限的Cauchy收敛准则：函数极限 lim ⁡ x → + ∞ f ( x ) \lim\limits_{x\to +\infty}f(x) x→+∞lim​f(x)存在且有限的充要条件是，对于任何给定的 ε > 0 \varepsilon>0 ε>0，存在 X > 0 X>0 X>0，使得对于一切 x ′ > X , x ′ ′ > X x'>X,x''>X x′>X,x′′>X，有 ∣ f ( x ′ ) − f ( x ′ ′ ) ∣ < ε |f(x')-f(x'')|