1.3.16 收敛数列的子数列的收敛性

　　设在数列中，第一次抽取，第二次抽取，第三次抽取，如此反复抽取下去，就得到数列的一个子数列

。

　　注：在子数列中，是中的第项，是原数列中第项。显然，。

　　定理4(收敛数列与其子数列间的关系)　如果数列收敛于，那么它的任一子数列也收敛，且极限也是。　　证    设数列是数列的任一子数列。依题设

，

根据数列极限的定义，对任意给定的，存在正整数，当时，恒有

，

取，则当时，。于是，有

，

即 。

　　由定理４的逆否命题知，如果数列有两个子数列收敛于不同的极限，则数列是发散的。该逆否命题常用于证明某些数列的发散性。

　　例如，在本节例题中，我们讨论过数列：

 ，

且已知该数列是发散的。事实上，我们也可利用上述定理4来判断其发散性。因其子数列收敛于，而收敛于，故数列

是发散的。

　　此例表明：一个发散的数列也可能有收敛的子数列。