函数项数列以及函数项级数收敛判别

毫无疑问，这个要记的东西巨多。我总结了一下，以后忘了还能来看。 做题也要看清到底是函数列收敛还是函数项级数收敛。 函数项级数相当于函数列的和。

一致收敛和点态收敛的区别就在于到底先确定 n n n还是先确定 x x x. 一致收敛是先确定 n n n,对任意 x x x都收敛。点态收敛是先确定 x x x，对任意 n n n都收敛。

给定 x 0 x_0 x0​，对任意小的 ϵ > 0 \epsilon>0 ϵ>0， lim ⁡ n → ∞ ∣ f n ( x ) − f ( x ) ∣ < ϵ \lim_{n\to \infty}|f_{n}(x)-f(x)|0 ϵ>0，存在某一个正数 N N N，对任意 n n n，满足 n > N n>N n>N，任意的 x x x都满足 f n ( x ) f_{n}(x) fn​(x)收敛到 f ( x ) f(x) f(x)。注意的是 N N N和 x x x的顺序，一定要小心，先确定 N N N再确定 x x x。 2.充要条件： sup ⁡ ∣ f n ( x ) − f ( x ) ∣ = 0 \sup|f_{n}(x)-f(x)|=0 sup∣fn​(x)−f(x)∣=0，当 n n n足够大时。这个比较有用。 上界指的是 n n n作为常数时，取 x x x的值可能要求导。 如果不是0就不一致收敛。 3.柯西准则：对任意 x x x,存在 N N N,任意 n > m > N n>m>N n>m>N，都有 ∣ f n ( x ) − f m ( x ) ∣ < e |f_{n}(x)-f_{m}(x)|