【物理科普】想增大摩擦？你得卷起来！

船即将触岸的瞬间，船主将一根粗大的铁链往那岸上的柱子一掷，待链子绕着柱子缠绕数圈之后，船就被拉住了，船上的人便可上岸了。

还有机器通过皮带传动轮子，这个摩擦力也是非同小可。

显然，这里面起作用的是绳子（或皮带）与它所缠绕的柱体表面之间的摩擦力。那么，为什么仅凭绕上几圈，就能产生这么大的摩擦力，从而提供如此大的作用力呢？

为了回答这个问题，我们从中学物理中的滑轮讲起。

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从最简单的滑轮讲起

我们经常见到这种问题：一根不可伸长的轻绳跨过一个定滑轮，两端各吊一重物，质量分别为 和 ，要求绳子上的拉力。

这个问题具体如何讨论，取决于轮子的情况：轮子是否是轻滑轮？轮子表面是否有摩擦？

如果轮子轻质，那么轮子的运动不会造成影响，绳子的拉力处处相同。

但若轮子有质量，就要进一步看轮子表面是否有摩擦——虽然，对定滑轮来说，一般默认表面是有摩擦力的。

若轮子表面光滑，那么绳子将绝对打滑，轮子不会被带动，绳子的拉力依旧处处相同。

若轮子表面粗糙，为了简单起见，假设不打滑。由于轮子有质量，轮子在摩擦力的带动下发生的转动不可忽略，这涉及刚体力学。

下面来简单的分析一下。

如下图，设轮子的半径为 ，质量为 ，设 比 大。

很多人的做法是，绳子由于受到摩擦，在不打滑的情况下，绳与轮子保持相对静止，因此可以把绳与轮子看成一个整体。由于是轻绳，故该系统质量仍为 。

如此一来，图中所示的拉力 和 就直接作用在这个整体上，它们的力矩使整体作顺时针的加速转动。根据转动定律 ， 其中 为转动惯量 ，可知

由于绳子不可伸长，两质点加速度大小相同，根据牛顿第二定律有 由于绳子不打滑，故轮子的角加速度与质点的加速度之间满足

联立以上各式可得拉力 和 的值，此处略。

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摩擦力等于拉力差

以上做法当然是对的。

但有一个问题：为什么滑轮所受力矩由拉力 和 产生？难道不应该是摩擦力吗？

对此，大多数人的观点是：因为绳没有滑动，所以可把绳和轮子当作一个整体，作为内力的静摩擦力，其作用完全可忽略——它就好像是刚体内部的原子分子的相互作用一样，当然可忽略！

记住，作为内力的静摩擦力，既不做功，也不改变系统动量，就像刚体内的力一样，对系统来说，它什么也没干。

记住，作为内力的静摩擦力，既不做功，也不改变系统动量，就像刚体内的力一样，对系统来说，它什么也没干。

但如果我想知道这里面的摩擦力，可不可以呢？

当然可以！

将绳子从系统中拿掉后，系统只剩下轮子了，它受到四种力的作用：重力、轴上的力、绳子施加的压力和摩擦力。

看看这四个力：前面两个作用在转轴处，力矩为零；来自绳子的压力，处处都沿法线方向，力矩也为零；只剩下绳子的摩擦力了，它处处沿切向，因此处处都贡献力矩。

设某点 摩擦力为 ，它的力矩为 ，由于所有点的摩擦力矩都沿一个方向，所以合力矩为 轮子边缘各点受到的摩擦力的大小之和当然就是轮子受到的摩擦力，即 注意这里的求和不是矢量和，是大小之和！

不知道你意识到没有，这里的 有点怪，它是各种方向连续变化的微元摩擦力按大小累加起来得到的一种量。

根据转动定律有

但问题是，题目要求的是拉力，摩擦力 如何与拉力联系起来？

相比之前的系统，只是绳子被拿掉了，但由于是轻绳，拿走绳子后转动惯量不变，所以 仍成立。对比上面二式，可知 你可能觉得：这个结论不是显而易见的吗？何必非此周折得到？！

确实！若利用微元法分析，也可得此结论。

考虑绳上一段 ，它两端受拉力分别为 和 ，它受摩擦力为 ，如下图所示

由于这一小段质量为零，根据牛顿第二定律必有 上式右边是相邻两点之间的拉力增量，很显然，如果我们把所有这些增量都加起来，那不就绳子两端拉力之差嘛！所以，只要将上式对全部点求和，就得到关系式 。

总之，绕过定滑轮的绳子，两端的拉力差就是轮子所受到的总摩擦力。

上述推理过程中，并未对绳子绕过的角度有任何限定，因此这个结论是适用于绳绕轮子任意角度的情况，例如像这样。

甚至像下面这样，缠绕好几道的情况，也是如此。

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为什么摩擦力这么大？

现在回头看本文开头给出的问题：为什么多次绕过一个圆形柱体的绳子，一端只需要小小的拉力，就可以在另一端产生巨大的拉力？

根据上面分析结果，应该是摩擦力填补了这两个拉力之间的巨大差值！换句话说，绕过圆柱体的绳子能产生巨大的摩擦力！

那么，到底这个摩擦力具有什么样的规律，竟会如此之大呢？

为了找到这里面的规律，将绕过滑轮的绳子看成由无数个小球连接而成的，如下图所示，绳子绕过滑轮形成的角为 ——称之为包角。 设有相切的两个小球，A和B代表它们的球心。O代表滑轮的中心。AO和BO之间的夹角为 。

设A处受到的拉力为 ，而B处的拉力为 ，这两个拉力分别都沿着各自所在位置的切向。它们的的交点为C。根据几何关系可知，AB与AC以及BC的夹角都为 。因此这两个拉力在C点沿法向的分量之和为 这个值正是滑轮在C点正下方所受的正压力。而当 时， 故上式为 上式第二项由于是两个无穷小相乘，属于高阶无穷小，故忽略。将剩余的无穷小写成微分形式，上式就是 该正压力所导致的 最大静摩擦力 为 要保持绳子不滑动，最大静摩擦力应不小于拉力差，即 所以有 也就是 将上式两边从绳子与滑轮相切的一端开始，一直积分到另一端的切点，得到 故得 这个规律是著名数学家欧拉首次提出的。

据此，绳子两端的拉力差为 根据前面得到的结论，滑轮提供的总的摩擦力 ，故说明 所以，跨过一个轮子，所能形成的最大摩擦力随包角 指数增长！

因此，当你在一端施加一个小小的拉力 时，依赖此最大摩擦力，你可以与另一端的一个巨大的拉力 抗衡。

下面给个例子来具体计算一下。

假设静摩擦系数为0.3，你现在提供了100牛顿的拉力，若绳子绕过轮子一圈，你可以抗衡的最大拉力为 若绕上10圈，这个最大拉力变为 按此规律，若绕大约28圈，你可与太阳吸引地球的力抗衡。

基于此规律，在机械传动中，只要给定皮带绕轮子的包角 和皮带与轮子之间的摩擦系数，就可以得到皮带最大传动力。

有一种可伸缩的挂钩，其基本原理也是基于此规律。下面简单的分析一下。

如上图所示，绳子绕过两个直角的包角，所以有 和 合在一起也就是 根据力的平衡可知 ，故 所以，只要选择合适的材料以使 得到满足，即可保证任何位置都不会滑动。

到此，你现在基本明白“为什么只要将绳子在柱子上绕几圈，就抵抗住巨大的拉力”的问题了。原来，一切不过是摩擦力在里面起作用罢了！

如果绳子躺平在地上，按同样的摩擦系数考虑，你很难有什么办法获得这么大的摩擦力。

通过这种把绳子缠绕的方法，压力就卷起来了，而摩擦力也跟着卷起来了，正是这种卷起来的方式，积累了巨大的摩擦力。

如果认为摩擦是一种副作用，我们应该从多方面考虑，以尽量降低它的影响。正压力和摩擦系数固然重要；而现在知道，包角的影响也不可忽视！

人类生活中各种副作用同样如此。若将负重类比压力，将各种环境因素和障碍类比摩擦系数，现在又多了一个重要的副作用因素——卷！任其发展，将导致巨大的消耗甚至灾难。

物理中另一个引人注目的卷源自电磁感应，如果认为线圈匝数是卷的量度，那么卷的越厉害，电感就越大。

大自然中，卷无处不在，最大的卷莫过于咱们的银河系。

动物世界中，卷也是很普遍的。典型的凶狠鳄鱼和蟒蛇，捕食基本都是靠卷。

不过，比起咱们人类来说，这些都不算什么。

END

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