【math】排列组合的计算公式

参考书籍《概率论与数理统计教程》第二版 茆诗松 等

共有四种基本的排列组合：

前三种的计算公式比较容易理解，最后一种的计算公式，书中借助示意图，从组合（第三种）的角度得到计算公式。

先用示意图表示：某一次选取r个元素的结果

示意图符号：

选取结果是： 第一个元素：被选取2次（两个圈） 第二个元素：没有被选择（没有圈） 第三个元素：被选择1次（一个圈） …… 第n个元素：被选择3次（三个圈）

也就是图中的“竖线”（“1”）有n+1个，“圆圈”（“0”） 有r个。

然后，从这个图示转换组合的计算方式，就是除了两端的“竖线”，其中的r个圈可以在中间的位置上随意放。

那么，中间的位置是哪些位置？图中，放了n+1个竖线和r个圆圈，去掉两端的竖线（不可移动），共有：(n+1)+r-2=n+r-1个位置。

这就直接转换成，从n+r-1个位置上，选取r个放圆圈的位置了（无序无放回的组合）。或者是，从n+r-1个位置上，选取n-1个位置放竖线。

思考：

【1】N个不同颜色的球，可选1-N个，有几种选法？答： C n 1 + C n 2 + . . . + C n n C_n^1+C_n^2+...+C_n^n Cn1​+Cn2​+...+Cnn​ 公式化简后： C n 1 + C n 2 + . . . + C n n = 2 n C_n^1+C_n^2+...+C_n^n=2^n Cn1​+Cn2​+...+Cnn​=2n。知乎上一个回答 这个等式为什么成立，很直观。