考研数学一真题及答案解析

2015 

年全国硕士研究生入学一致考试数学（一）试题

一、选择题：

1 

:

 8 

小题，每题

4 

分，共

 32 

分。以下每题给出的四个选项中，只有一个选项符

合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸

指定地点上。

．．．

(1) 

设函数

f ( x) 

在

,

内连续，此中二阶导数

f  ( x) 

的图形如下图，则曲线

y 

f ( x) 

的拐点的个数为

(

) 

(A)

0

(B)

1

(C)

2

(D)

3 

【答案】（

C

）

【分析】拐点出此刻二阶导数等于

0

，或二阶导数不存在的点，并且在这点的左右双侧二阶导函

数异号。所以，由

f 

(x) 

的图形可得，曲线

   y 

f ( x) 

存在两个拐点

.

应选（

 C

）

 . 

(2) 

设

y 

1 

e

2 x 

( x 

1

)e

x

是二阶常系数非齐次线性微分方程

y 

ay   by   ce

x 

的一

2 

3 

个特解，则

( 

) 

(A) 

a 

3,b 

2, c 

1 

(B) 

a 

3, b 

2, c 

1 

(C) 

a 

3,b 

2, c 

1 

(D) 

a 

3, b 

2, c 

1 

【答案】（

A 

）

【剖析】本题考察二阶常系数非齐次线性微分方程的反问题——已知解来确立微分方程的系数，此

类题有两种解法，一种是将特解代入原方程，而后比较等式两边的系数可得待估系数值，另一

种是依据二阶线性微分方程解的性质和结构来求解，也就是下边演示的解法

. 

【分析】

由题意可知，

1 

e

2x

、

1

 e

x

为二阶常系数齐次微分方程

y   ay 

by  0 

的解，所以

2,1 

2 

3 

为

特

征

方

程

 r 

2 

ar 

b 

0 

的

根

，

从

而

a 

(1  2)    3 

，

b  1  2 

2

，进而原方程变成

y 

3y 

2y 

ce

x

，再将特解

y 

xe

x

代入得

 c

1 

.

应选（

A

）

(3)  

若级数

a

n

条件收敛，则

x

3 

与

x

3 

挨次为幂级数

na 

n

 ( x 1)

n

的

(

) 

n  1

n  1 

(A)

收敛点，收敛点

(B)

收敛点，发散点