高阶导数

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例子：求

$\small \left (e^x \right )^{(n)}=e^x$

指数函数的n阶导数：

$\small \left (a^x \right )^{(n)}=\left (e^{xlna} \right )^{(n)}=(lna )^ne^{xlna}}=(lna)^n a^x}$ 由倒数第二个公式可得

线性复合函数的n阶导数：

$\small \begin{matrix} [f(ax+b)]=[a^1f^{(1)}(ax+b)]\\ [f(ax+b)]=[a^2f^{(2)}(ax+b)]\\ ...\\ [f(ax+b)]=[a^nf^{(n)}(ax+b)] \end{matrix}$

幂函数的n阶导数

$\small \begin{matrix} [x^a]^{(1)}=ax^{a-1}=(a-1+1)x^{a-1}\\ [x^a]^{(2)}=a(a-2+1)x^{a-2}\\ ...\\ [x^a]^{(n)}=a(a-1)...(a-n+1)x^{a-n} =[\prod_{k=0 }^{ n-1} (a-k)]x^{ a-n}\end{matrix}$

$\small [(cx+b)^a]^{(n)=c^n[\prod_{k=0 }^{ n-1} (a-k)](cx+b)^{ a-n}$

例题： $\small [\sqrt{ax+1}]^{(5)}=[(ax+1)^{\frac { 1}{2 }}]^{(5)}=[\frac { 1}{2 }(\frac { 1}{2 }-1)(\frac { 1}{2 }-2)(\frac { 1}{2 }-3)(\frac { 1}{2 }-4)](ax+1)^{\frac{ 1}{2 }-5}a^5$

$\small = \frac{ 1.3.5.7}{2}(ax+1)^{\frac{ 9}{2 }}a^5$

$\small [\sqrt{ax+1}]^{(1)}=a.\frac{1}{2}. (ax+1)^\frac{3 }{2 }$

莱布里茨导数公私的导数次数和系数：

$\small \begin{matrix} n &n-1 &... &1 & 0 \\ 0 &1 &... &n-1 & n\\ c_{n}^0 & c_{n}^1 &.. & c_{n}^{n-1} &n \end{matrix}$

乘积中有多项式函数，把多项式函数放在第二项，这样多项式在一定次数之后将为零。

Tip ：把多项式函数设置为v 。

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