离散信号（七）

离散信号的傅里叶变换DTFT，它是 Ω \Omega Ω的连续周期函数，尽管在理论上有重要意义，但在实际中往往难于计算，尤其在数字计算机上实现有困难。为此我们需要一种时域和频域都离散的傅里叶变换对，这就是离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transformation），简称DFT。DFT的导出有多种方法，比较方便同时物理意义也比较明确的是从离散傅里叶级数（DFS）着手。由于时域和频域都是离散的，因而这种傅里叶变换对有其特殊性质，这些性质使DFT在实际应用中有时会产生误解。DFT有快速计算方法，即快速傅里叶变换（FFT）。

考虑有限长序列 x ( n ) ( 0 ≤ n ≤ N − 1 ) x(n)(0\leq n\leq N-1) x(n)(0≤n≤N−1)，将其按周期N进行延拓，得到周期序列 x p ( n ) = ∑ r x ( n + r N ) ( r 为 任 意 整 数 ) x_p(n)=\sum_{r}x(n+rN) \quad (r为任意整数) xp​(n)=r∑​x(n+rN)(r为任意整数) 我们把 x ( n ) x(n) x(n)称为主值序列，它也是周期序列 x p ( n ) x_p(n) xp​(n)的主值区间序列。由于 x p ( n ) x_p(n) xp​(n)是周期为N的周期序列，可以展开成离散傅里叶级数DFS X p ( k Ω 0 ) = 1 N ∑ n = 0 N − 1 x p ( n ) e − j k Ω 0 n k = 0 , 1 , 2 , ⋯   , N − 1 X_p(k\Omega_0)=\frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1}x_p(n)e^{-jk\Omega_0 n} \quad k=0,1,2,\cdots,N-1 Xp​(kΩ0​)=N1​n=0∑N−1​xp​(n)e−jkΩ0​nk=0,1,2,⋯,N−1 X p ( k Ω 0 ) X_p(k\Omega_0) Xp​(kΩ0​)是周期为N的，离散的，它的反变换为 x p ( n ) = ∑ k = 0 N − 1 X p ( k Ω 0 ) e j k Ω 0 n x_p(n)=\sum_{k=0}^{N-1}X_p(k\Omega_0)e^{jk\Omega_0 n} xp​(n)=k=0∑N−1​Xp​(kΩ0​)ejkΩ0​n 虽然它也是离散的、周期为N的序列。由于 X p ( k Ω 0 ) X_p(k\Omega_0) Xp​(kΩ0​)的周期性，我们也可以取它的一个周期为主值区间 ( 0 ≤ k ≤ N − 1 ) (0\leq k\leq N-1) (0≤k≤N−1)，主值区间的 X p ( k Ω 0 ) X_p(k\Omega_0) Xp​(kΩ0​)记为 X ( k Ω 0 ) X(k\Omega_0) X(kΩ0​)。当 x p ( n ) x_p(n) xp​(n)和 X p ( k Ω 0 ) X_p(k\Omega_0) Xp​(kΩ0​)都取主值区间序列时，显然有 X ( k Ω 0 ) = 1 N ∑ n = 0 N − 1 x ( n ) e − j k Ω 0 n k = 0 , 1 , 2 , ⋯   , N − 1 (8) X(k\Omega_0)=\frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1}x(n)e^{-jk\Omega_0 n} \quad k=0,1,2,\cdots, N-1 \tag{8} X(kΩ0​)=N1​n=0∑N−1​x(n)e−jkΩ0​nk=0,1,2,⋯,N−1(8) 和 x ( n ) = ∑ k = 0 N − 1 X ( k Ω 0 ) e j k Ω 0 n k = 0 , 1 , 2 , ⋯   , N − 1 (9) x(n)=\sum_{k=0}^{N-1}X(k\Omega_0)e^{jk\Omega_0 n} \quad k=0,1,2,\cdots,N-1 \tag{9} x(n)=k=0∑N−1​X(kΩ0​)ejkΩ0​nk=0,1,2,⋯,N−1(9) 同DTFT一样，非周期序列的傅里叶变换是信号的频谱密度，所以将式（8）乘以N，同时考虑到离散的频谱可用序列来表示，所以定义长度为N的有限长序列 x ( n ) x(n) x(n)的离散傅里叶变换（DFT） X ( k ) X(k) X(k)为 X ( k ) = N X ( k Ω 0 ) = ∑ n = 0 N − 1 x ( n ) e − j k Ω 0 n k = 0 , 1 , 2 , ⋯   , N − 1 (10) X(k)=NX(k\Omega_0)=\sum_{n=0}^{N-1}x(n)e^{-jk\Omega_0 n} \quad k=0,1,2,\cdots, N-1 \tag{10} X(k)=NX(kΩ0​)=n=0∑N−1​x(n)e−jkΩ0​nk=0,1,2,⋯,N−1(10) 并由式（9）和式（10），可得 X ( k ) X(k) X(k)的DFT反变换 x ( n ) = 1 N ∑ k = 0 N − 1 N X ( k Ω 0 ) e j k Ω 0 n = 1 N ∑ k = 0 N − 1 X ( k ) e j k Ω 0 n n = 0 , 1 , 2 , ⋯   , N − 1 (11) x(n)=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}NX(k\Omega_0)e^{jk\Omega_0 n}=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}X(k)e^{jk\Omega_0 n} \quad n=0,1,2,\cdots,N-1 \tag{11} x(n)=N1​k=0∑N−1​NX(kΩ0​)ejkΩ0​n=N1​k=0∑N−1​X(k)ejkΩ0​nn=0,1,2,⋯,N−1(11) 同样，把满足式（10）和式（11）的 x ( n ) x(n) x(n)和 X ( k ) X(k) X(k)称为离散傅里叶变换（DFT）对，简记为 x ( n ) ↔ D F T X ( k ) x(n)\overset{DFT}{\leftrightarrow}X(k) x(n)↔DFTX(k) 只要从DFS变换对截取序列的主值，就构成了DFT变换对。但是它们在本质意义上还是有区别的，DFS是按傅里叶分析严格定义的，而DFT是一种”借用“的形式，因为我们知道，有限长序列 x ( n ) x(n) x(n)是非周期性的，故它的傅里叶变换是连续的、周期性的，现在，我们人为地把 x ( n ) x(n) x(n)按周期延拓成离散的、周期性的序列 x p ( n ) x_p(n) xp​(n)，得到离散的、周期性的频率函数 X p ( k Ω 0 ) X_p(k\Omega_0) Xp​(kΩ0​)，然后利用 x ( n ) x(n) x(n)是 x p ( n ) x_p(n) xp​(n)的主值序列，借用取主值的方法，得出DFT的定义，这样处理的结果相当于把原来 x ( n ) x(n) x(n)的连续的、周期性的频谱离散化了。事实上，我们完全可以从非周期性序列的傅里叶变换DTFT出发，按采样间隔 Ω 0 = 2 π N \Omega_0=\frac{2\pi}{N} Ω0​=N2π​实现原连续频域函数 X ( Ω ) X(\Omega) X(Ω)离散化，来得到离散傅里叶变换DFT。