数学思考

关于函数图像的变换，基本的平移什么的很简单，可我在思考一个问题:如果是绕着某一点旋转,方程会有怎样的变化？今天想到了这个问题，我们简单探究一下

一.一元函数的旋转:

先抛出一个简单问题,y=xe^x的图像关于原点顺时针旋转45°后所对应的函数方程?

我们知道，对于一元函数，其图像上任一点坐标可表示为(x,f(x)),

函数图像的旋转，等价于图像上每个点都要进行旋转

在本例中，旋转中心为原点，即连接原点与函数图像上任意一点进行旋转

函数图像上任一点与原点连线的斜率y/x=e^x

顺时针45°,就是斜率减45°,用公式得到变换后的曲线方程为

如果旋转中心变化，只需要换成计算函数图像上的点到旋转中心的斜率再旋转即可；

需要注意的是，这种方法要注意原函数的定义域，值域等等

二.隐函数的旋转

对于大部分隐函数，直接转化成显函数是不方便的，就如求导一样，我们需要找到新方法

仍然抛出一个例子：求椭圆x^2/4+y^2=1绕原点顺时针旋转60°后的曲线

我们略改动刚才的方法，设椭圆上任一点(x,y)

对于旋转后的点(x0,y0),有

从这个方程里解出x,y,并代入原方程,即为旋转后曲线

结果为

对于任意平面内的曲线，可以采用这种通法计算

三、二元函数的旋转

二元函数由于我的把握还不透彻，故复杂的例如曲面沿任意平面方向旋转还无法实现，讨论一个简单的实例

求函数f(x,y)=xy^2沿平面z=0方向绕x轴顺时针旋转90°后的方程

设曲面上一点(x,y,f(x,y))，旋转后该点坐标为(x,f(x,y),-y)

也可以采取类似偏导的方法，将x看为常数

整理得到新的方程: