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拓扑
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拓扑（topology）是拓扑空间中的基本概念，它是一系列被称为“开集”的元素的集族，一个拓扑空间正是一个非空点集装备上其上的某种拓扑而得名的。 给一个非空集合定义拓扑可以有多种方式，例如 #开集公理：规定拓扑为哪些被称之为是开集的元素组成的。 #闭集公理：规定拓扑为哪些被称之为是闭集的元素诱导的。 #闭包公理：规定拓扑为哪些被称之为是闭包的概念诱导的。 #内部公理：规定拓扑为哪些被称之为是内部的概念诱导的。 #邻域公理：规定拓扑为哪些被称之为是邻域的概念诱导的。 #外部公理：规定拓扑为哪些被称之为是外部的概念诱导的。 #边界公理：规定拓扑为哪些被称之为是边界的概念诱导的。 #导集公理：规定拓扑为哪些被称之为是导集的概念诱导的。这几个公理是互相等价的，声明了某个集族后均可以推出另外几种集族，且与直接用它们的公理化定义得到的结果一致。 开集公理[]非空集合 X {\displaystyle X} 上的一个拓扑 T {\displaystyle \mathcal{T}} （topology）是由 X {\displaystyle X} 的一些子集构成的子集族，即 T = { A α ⊂ X | α ∈ I } {\displaystyle \mathcal{T} = \{ A_\alpha \subset X | \alpha \in I \}} ，其中 I {\displaystyle I} 是指标集，这个子集族满足 T {\displaystyle \mathcal{T}} 中任意多个集合的并集依然在 T {\displaystyle \mathcal{T}} 中； T {\displaystyle \mathcal{T}} 中有限个（或任意两个）集合的交集依然在 T {\displaystyle \mathcal{T}} 中； 全集 X {\displaystyle X} 和空集 ∅ {\displaystyle \varnothing} 在 T {\displaystyle \mathcal{T}} 中。拓扑 T {\displaystyle \mathcal{T}} 中的元素称为开集。 闭集公理[]给定非空集合 X {\displaystyle X} ，由 X {\displaystyle X} 的一些子集构成的子集族 T ′ = { A α ⊂ X | α ∈ I } {\displaystyle \mathcal{T}' = \{ A_\alpha \subset X | \alpha \in I \}} ，其中 I {\displaystyle I} 是指标集，这个子集族满足 T ′ {\displaystyle \mathcal{T}'} 中任意多个集合的交集依然在 T ′ {\displaystyle \mathcal{T}'} 中； T ′ {\displaystyle \mathcal{T}'} 中有限个（或任意两个）集合的并集依然在 T ′ {\displaystyle \mathcal{T}'} 中； 全集 X {\displaystyle X} 和空集 ∅ {\displaystyle \varnothing} 在 T ′ {\displaystyle \mathcal{T}'} 中。T ′ {\displaystyle \mathcal{T}'} 中的元素称为闭集，闭集的补集定义为开集。开集公理和闭集公理是对偶的。 闭包公理[]给定非空集合 X {\displaystyle X} ，定义幂集之间的一种运算（称之为闭包运算） c ∗ : P ( X ) → P ( X ) {\displaystyle c^*: \mathcal{P}(X) \to \mathcal{P}(X)} ，它满足： c ∗ ( ∅ ) = ∅ . {\displaystyle c^*(\varnothing) = \varnothing.} A ⊂ c ∗ ( A ) . {\displaystyle A \subset c^*(A).} c ∗ ( A ∪ B ) = c ∗ ( A ) ∪ c ∗ ( B ) . {\displaystyle c^*(A \cup B) = c^*(A) \cup c^*(B).} c ∗ ( c ∗ ( A ) ) = c ∗ ( A ) . {\displaystyle c^*(c^*(A)) = c^*(A).}我们称 c ∗ ( A ) {\displaystyle c^*(A)} 是 A {\displaystyle A} 的闭包。对应的拓扑中的开集定义为满足 c ∗ ( U c ) = U c {\displaystyle c^*(U^c) = U^c} 的集合 U {\displaystyle U} 。这四条公理也被称为 Kuratovski 闭包公理，在一些早期的拓扑学教材中作为拓扑的定义出现。 内部公理[]给定非空集合 X {\displaystyle X} ，定义幂集之间的一种运算（称之为内部运算） Int ( ⋅ ) : P ( X ) → P ( X ) {\displaystyle \text{Int}(\cdot): \mathcal{P}(X) \to \mathcal{P}(X)} ，它满足： Int ( X ) = X . {\displaystyle \text{Int}(X) = X.} Int ( A ) ⊂ A . {\displaystyle \text{Int}(A) \subset A.} Int ( A ∩ B ) = Int ( A ) ∩ Int ( B ) . {\displaystyle \text{Int}(A \cap B) = \text{Int}(A) \cap \text{Int}(B).} Int ( Int ( A ) ) = Int ( A ) . {\displaystyle \text{Int}(\text{Int}(A)) = \text{Int}(A).}我们称 Int ( A ) {\displaystyle \text{Int}(A)} 是 A {\displaystyle A} 的内部。对应的拓扑中的开集定义为满足 Int ( U ) = U {\displaystyle \text{Int}(U) = U} 的集合 U {\displaystyle U} 。内部公理和闭包公理是对偶的。 邻域公理[]假设有拓扑空间 X {\displaystyle X} ， x ∈ X {\displaystyle x \in X} 的所有邻域的集合称为 x {\displaystyle x} 的邻域系，记作 N ( x ) {\displaystyle \mathcal{N}(x)} 。 假设 X {\displaystyle X} 是拓扑空间， x ∈ X {\displaystyle x \in X} 且 N ( x ) {\displaystyle \mathcal{N}(x)} 是 x {\displaystyle x} 的一个邻域系。 N ( x ) ≠ ∅ {\displaystyle \mathcal{N}(x) \ne \varnothing} 且若 U ∈ N ( x ) {\displaystyle U \in \mathcal{N}(x)} 那么 x ∈ U . {\displaystyle x \in U.} 若 U , V ∈ N ( x ) {\displaystyle U, V \in \mathcal{N}(x)} ，那么 U ∩ V ∈ N ( x ) . {\displaystyle U \cap V \in \mathcal{N}(x).} 若 U ∈ N ( x ) , U ⊂ V {\displaystyle U \in \mathcal{N}(x), U \subset V} ，那么 V ∈ N ( x ) . {\displaystyle V \in \mathcal{N}(x).} 若 U ∈ N ( x ) {\displaystyle U \in \mathcal{N}(x)} 则存在 V ∈ N ( x ) {\displaystyle V \in \mathcal{N}(x)} 使得 V ∈ N ( x ) {\displaystyle V \in \mathcal{N}(x)} 且对任意 y ∈ V {\displaystyle y \in V} 都有 V ∈ N ( y ) . {\displaystyle V \in \mathcal{N}(y).}实际上，从上面四点我们可以建立拓扑的邻域公理：假设 X {\displaystyle X} 是一个集合，又设对每一点 x ∈ X {\displaystyle x \in X} 都存在一个集合系 N ( x ) {\displaystyle \mathcal{N}(x)} 使得它满足如上四点，则 X {\displaystyle X} 有唯一的一个拓扑使得对任意 x ∈ X {\displaystyle x \in X} ， N ( x ) {\displaystyle \mathcal{N}(x)} 是 x {\displaystyle x} 的邻域系。 这个拓扑中的开集是这样诱导的：其中的开集定义为 X {\displaystyle X} 的子集 U {\displaystyle U} ，且如果 x ∈ U {\displaystyle x \in U} 则 U ∈ N ( x ) . {\displaystyle U \in \mathcal{N}(x).} 这个拓扑和开集公理定义的拓扑等价。 外部公理[]给定非空集合 X {\displaystyle X} ，定义幂集之间的一种运算（称之为外部运算） Ext ( ⋅ ) : P ( X ) → P ( X ) {\displaystyle \text{Ext}(\cdot): \mathcal{P}(X) \to \mathcal{P}(X)} ，它满足： Ext ( ∅ ) = X . {\displaystyle \text{Ext}(\varnothing) = X.} Ext ( A ) ⊂ A c . {\displaystyle \text{Ext}(A) \subset A^c.} Ext ( A ∪ B ) = Ext ( A ) ∩ Ext ( B ) . {\displaystyle \text{Ext}(A \cup B) = \text{Ext}(A) \cap \text{Ext}(B).} Ext ( Ext ( A ) c ) = Ext ( A ) . {\displaystyle \text{Ext}(\text{Ext}(A)^c) = \text{Ext}(A).}我们称 Ext ( A ) {\displaystyle \text{Ext}(A)} 是 A {\displaystyle A} 的外部。对应的拓扑中的开集定义为满足 Int ( U ) = U c {\displaystyle \text{Int}(U) = U^c} 的集合 U {\displaystyle U} 。 边界公理[]给定非空集合 X {\displaystyle X} ，定义幂集之间的一种运算（称之为边界运算） Bd ( ⋅ ) : P ( X ) → P ( X ) {\displaystyle \text{Bd}(\cdot): \mathcal{P}(X) \to \mathcal{P}(X)} ，它满足： Bd ( ∅ ) = ∅ . {\displaystyle \text{Bd}(\varnothing) = \varnothing.} Bd ( A ) = Bd ( A c ) . {\displaystyle \text{Bd}(A) = \text{Bd}(A^c).} 若 A ⊂ B {\displaystyle A \subset B} ，则 Bd ( A ) ⊂ B ∪ Bd ( B ) . {\displaystyle \text{Bd}(A) \subset B \cup \text{Bd}(B).} Bd ( A ∪ B ) ⊂ Bd ( A ) ∪ Bd ( B ) . {\displaystyle \text{Bd}(A \cup B) \subset \text{Bd}(A) \cup \text{Bd}(B).} Bd ( Bd ( A ) ) ⊂ Bd ( A ) . {\displaystyle \text{Bd}(\text{Bd}(A)) \subset \text{Bd}(A).}我们称 Bd ( A ) {\displaystyle \text{Bd}(A)} 是 A {\displaystyle A} 的边界。对应的拓扑中的开集定义为满足 Bd ( U c ) ⊂ U c {\displaystyle \text{Bd}(U^c) \subset U^c} 的集合 U {\displaystyle U} 。 导集公理[]给定非空集合 X {\displaystyle X} ，定义幂集之间的一种运算（称之为导集运算） d ( ⋅ ) : P ( X ) → P ( X ) {\displaystyle \text{d}(\cdot): \mathcal{P}(X) \to \mathcal{P}(X)} ，它满足： d ( ∅ ) = ∅ . {\displaystyle \text{d}(\varnothing) = \varnothing.} x ∈ d ( A ) ⟺ x ∈ d ( A ∖ { x } ) . {\displaystyle x \in \text{d}(A) \iff x \in \text{d}(A \setminus \{ x \}).} d ( A ∪ B ) = d ( A ) ∪ d ( B ) . {\displaystyle \text{d}(A \cup B) = \text{d}(A) \cup \text{d}(B).} d ( d ( A ) ) = A ∪ d ( A ) . {\displaystyle \text{d}(\text{d}(A)) = A \cup \text{d}(A).}我们称 d ( A ) {\displaystyle \text{d}(A)} 是 A {\displaystyle A} 的导集。对应的拓扑中的开集定义为满足 d ( U c ) ⊂ U c {\displaystyle \text{d}(U^c) \subset U^c} 的集合 U {\displaystyle U} 。 点集拓扑学（学科代码：1103110，GB/T 13745—2009） 基本概念 拓扑空间 ▪ 拓扑 ▪ 开集和闭集 ▪ 闭包和内部 ▪ 外部和边界 ▪ 聚点和导集 ▪ 连续映射 ▪ 同胚 ▪ 邻域 ▪ 邻域基 ▪ 拓扑基 ▪ 拓扑流形 可数可分性 拓扑分离公理 ▪ 完全正则空间 ▪ 第一可数空间 ▪ 第二可数空间 ▪ 可分空间 ▪ Hausdorff 空间 ▪ Lindelof 空间 ▪ Urysohn 引理 ▪ Tietze 扩张定理 ▪ Urysohn 度量化定理 新的拓扑 子拓扑 ▪ 乘积拓扑 ▪ 商拓扑 ▪ 拓扑和 ▪ 楔和 ▪ 贴空间 紧性和连通性 紧空间和紧集 ▪ 列紧空间 ▪ 序列紧致空间 ▪ 可数紧致空间 ▪ 局部紧致空间 ▪ 仿紧致空间 ▪ 覆盖 ▪ 粘结引理 ▪ 隔离子集 ▪ 连通空间 ▪ 连通分支 ▪ 局部连通空间 ▪ 道路连通空间 映射空间 点式收敛拓扑 ▪ 一致收敛拓扑 ▪ 紧致-开拓扑 所在位置：数学（110）→ 拓扑学（11031）→ 点集拓扑学（1103110） |
上的一个拓扑
T
{\displaystyle \mathcal{T}}
（topology）是由
X
{\displaystyle X}
，其中
I
{\displaystyle I}
是指标集，这个子集族满足
在
T
{\displaystyle \mathcal{T}}
，其中
I
{\displaystyle I}
中任意多个集合的交集依然在
T
′
{\displaystyle \mathcal{T}'}
，它满足：
A
⊂
c
∗
(
A
)
.
{\displaystyle A \subset c^*(A).}
c
∗
(
A
∪
B
)
=
c
∗
(
A
)
∪
c
∗
(
B
)
.
{\displaystyle c^*(A \cup B) = c^*(A) \cup c^*(B).}
c
∗
(
c
∗
(
A
)
)
=
c
∗
(
A
)
.
{\displaystyle c^*(c^*(A)) = c^*(A).}
是
A
{\displaystyle A}
的闭包。对应的拓扑中的开集定义为满足
c
∗
(
U
c
)
=
U
c
{\displaystyle c^*(U^c) = U^c}
的集合
U
{\displaystyle U}
。这四条公理也被称为 Kuratovski 闭包公理，在一些早期的拓扑学教材中作为拓扑的定义出现。
，它满足：
Int
(
A
)
⊂
A
.
{\displaystyle \text{Int}(A) \subset A.}
Int
(
A
∩
B
)
=
Int
(
A
)
∩
Int
(
B
)
.
{\displaystyle \text{Int}(A \cap B) = \text{Int}(A) \cap \text{Int}(B).}
Int
(
Int
(
A
)
)
=
Int
(
A
)
.
{\displaystyle \text{Int}(\text{Int}(A)) = \text{Int}(A).}
是
A
{\displaystyle A}
的集合
U
{\displaystyle U}
的所有邻域的集合称为
x
{\displaystyle x}
的邻域系，记作
N
(
x
)
{\displaystyle \mathcal{N}(x)}
。
假设
X
{\displaystyle X}
且若
U
∈
N
(
x
)
{\displaystyle U \in \mathcal{N}(x)}
那么
x
∈
U
.
{\displaystyle x \in U.}
若
U
,
V
∈
N
(
x
)
{\displaystyle U, V \in \mathcal{N}(x)}
，那么
U
∩
V
∈
N
(
x
)
.
{\displaystyle U \cap V \in \mathcal{N}(x).}
若
U
∈
N
(
x
)
,
U
⊂
V
{\displaystyle U \in \mathcal{N}(x), U \subset V}
，那么
V
∈
N
(
x
)
.
{\displaystyle V \in \mathcal{N}(x).}
若
U
∈
N
(
x
)
{\displaystyle U \in \mathcal{N}(x)}
使得
V
∈
N
(
x
)
{\displaystyle V \in \mathcal{N}(x)}
都有
V
∈
N
(
y
)
.
{\displaystyle V \in \mathcal{N}(y).}
则
U
∈
N
(
x
)
.
{\displaystyle U \in \mathcal{N}(x).}
这个拓扑和开集公理定义的拓扑等价。
，它满足：
Ext
(
A
)
⊂
A
c
.
{\displaystyle \text{Ext}(A) \subset A^c.}
Ext
(
A
∪
B
)
=
Ext
(
A
)
∩
Ext
(
B
)
.
{\displaystyle \text{Ext}(A \cup B) = \text{Ext}(A) \cap \text{Ext}(B).}
Ext
(
Ext
(
A
)
c
)
=
Ext
(
A
)
.
{\displaystyle \text{Ext}(\text{Ext}(A)^c) = \text{Ext}(A).}
是
A
{\displaystyle A}
的集合
U
{\displaystyle U}
，它满足：
Bd
(
A
)
=
Bd
(
A
c
)
.
{\displaystyle \text{Bd}(A) = \text{Bd}(A^c).}
若
A
⊂
B
{\displaystyle A \subset B}
，则
Bd
(
A
)
⊂
B
∪
Bd
(
B
)
.
{\displaystyle \text{Bd}(A) \subset B \cup \text{Bd}(B).}
Bd
(
A
∪
B
)
⊂
Bd
(
A
)
∪
Bd
(
B
)
.
{\displaystyle \text{Bd}(A \cup B) \subset \text{Bd}(A) \cup \text{Bd}(B).}
Bd
(
Bd
(
A
)
)
⊂
Bd
(
A
)
.
{\displaystyle \text{Bd}(\text{Bd}(A)) \subset \text{Bd}(A).}
是
A
{\displaystyle A}
的集合
U
{\displaystyle U}
，它满足：
x
∈
d
(
A
)
⟺
x
∈
d
(
A
∖
{
x
}
)
.
{\displaystyle x \in \text{d}(A) \iff x \in \text{d}(A \setminus \{ x \}).}
d
(
A
∪
B
)
=
d
(
A
)
∪
d
(
B
)
.
{\displaystyle \text{d}(A \cup B) = \text{d}(A) \cup \text{d}(B).}
d
(
d
(
A
)
)
=
A
∪
d
(
A
)
.
{\displaystyle \text{d}(\text{d}(A)) = A \cup \text{d}(A).}
是
A
{\displaystyle A}
的集合
U
{\displaystyle U}
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