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群论中的拉格朗日定理（子群的阶必然能整除群阶）
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前言：仅个人小记。本文记录的证明逻辑上不具有流畅性，主要是在一开始不流畅，拉格朗日神乎其技地引入了一个等价关系，进而实现了整个定理的证明，目前我没能给出拉格朗日是如何想到引入该等价关系。 最后给出推论： 元素的阶必然能够整除群的阶。（元素的阶就是相应循环子群的阶。） 前要知识 等价关系 R 中，元素 a 的等价类，即该等价关系中所有第一个元素是 a 的序偶相应的第二个元素 b 形成的集合。 定理内容设 < H , ∗ > 是群 < G , ∗ > 的一个子群，则子群 H 的阶 m 必然能够整除群 G 的阶 n, 即 m ∣ n m|n m∣n。 定理证明 前要证明（1）证明内容： 引入一个二元关系并证明其为一个等价关系。 引入二元关系 R = { < a , b > ∣ a , b ∈ G 且 a − 1 ∗ b ∈ H } R=\{|a,b\in G且a^{-1}*b\in H\} R={∣a,b∈G且a−1∗b∈H}注意: a,b 是属于群 G 而不是属于子群 H 的两个元素。 由于子群 H 必然存在幺元，所以 a − 1 ∗ a = e ∈ H a^{-1}*a=e\in H a−1∗a=e∈H，所以必然存在序偶，即二元关系 R 具有自反性。由于子群 H 具有封闭性和结合律，所以如果存在 ,，即存在 a − 1 ∗ b , b − 1 ∗ c ∈ H a^{-1}*b,b^{-1}*c\in H a−1∗b,b−1∗c∈H，进而，由于封闭性以及结合律，故而必然 ( a − 1 ∗ b ) ∗ ( b − 1 ) ∗ c = a − 1 ∗ ( b ∗ b − 1 ) ∗ c = a − 1 ∗ c ∈ H (a^{-1}*b)*(b^{-1})*c=a^{-1}*(b*b^{-1})*c=a^{-1}*c\in H (a−1∗b)∗(b−1)∗c=a−1∗(b∗b−1)∗c=a−1∗c∈H故而必然存在序偶 ，即二元关系具有传递性。由于子群 H 中元素都可逆，所以如果存在 ，即存在 a − 1 ∗ b ∈ H a^{-1}*b\in H a−1∗b∈H，则必然其逆元素也属于子群 H，即 ( a − 1 ∗ b ) − 1 ∈ H {(a^{-1}*b)}^{-1}\in H (a−1∗b)−1∈H，即 b − 1 ∗ a ∈ H b^{-1}*a\in H b−1∗a∈H即存在序偶 , 即二元关系具有对称性。综上3条，得出二元关系必然是一个等价关系。证毕！ 前要证明（2）证明内容： 等价关系 R 中元素 a 的等价类就是 aH。 由前要知识1知道，a 的等价类就是所有满足 < a , b > ∈ R \in R ∈R 的 b 形成的集合。对于等价关系 R ，满足 < a , b > ∈ R \in R ∈R 的 b 就是满足 a − 1 ∗ b ∈ H a^{-1}*b\in H a−1∗b∈H 的 b，就是所有满足 b ∈ a H b\in aH b∈aH的 b 形成的集合，即集合 a H aH aH。 注意到： a 具有任意性。等价类的规模和子群 H 直接挂钩，即同一等价类里元素个数就等于子群 H 的阶。 正式证明由等价关系 R 对集合 G 的划分形成等价类，记共有 k 个等价类。由前要证明(2)可知，每个不同等价类的规模相同，且每个等价类里的元素个数都等于子群 H 的阶，即 ∀ a ∈ G , ∣ [ a ] R ∣ = ∣ H ∣ \forall a\in G,|[a]_R|=|H| ∀a∈G,∣[a]R∣=∣H∣又因为是划分，所以所有等价类的元素的集合就是集合 G，所以 等 价 类 1 里 元 素 个 数 + 等 价 类 2 里 的 元 素 个 数 + . . . + 等 价 类 k 里 的 元 素 个 数 = G 中 元 素 个 数 等价类1里元素个数+等价类2里的元素个数+...+等价类k里的元素个数=G中元素个数 等价类1里元素个数+等价类2里的元素个数+...+等价类k里的元素个数=G中元素个数进而 k m = n km=n km=n即 n 能够被 m 整除，而 m 又是子群 H 的阶，而子群 H又具有任意性，故而得子群的阶必然能够整除群的阶。 推论元素的阶必然能够整除群的阶。 证明方法：元素自乘，形成循环子群，元素的阶就是相应循环子群的阶，而循环子群就是子群，故而满足上述 “子群的阶必然能够整除群的阶”，故而循环子群的阶必然能够整除群的阶，即元素的阶必然能够整除群的阶。证毕！ 
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