常规方法推导椭圆的切点弦方程

下面用常规思路证明椭圆的切点弦方程。

注意到A B切点的地位相同，故考虑用方程同解（构）的思想求出方程，只需求出椭圆的一条切线方程即可。

已知椭圆C，以及椭圆上除左右顶点的一点P（Xp，Yp），过P点做椭圆的一条切线，表达如下

目标为解出切线方程，即消去参数k。直线与椭圆相切，故可以联立方程，此时为了方便化简，不妨先令

这样一来会方便很多，后期需要时我们在将其展开。

联立即有：

这个关于x的方程的解即为切点横坐标。我们不必直接将其解出，根据韦达定理（根与一元二次方程系数的关系）即可得到：

k消不去。因此还要用到根的判别式：（判别式省写了系数4ab)

发现这样可以将分母替换。同时我们这时可以将m带回，即为

将k整理到一边。同时别忘了还有一个重要的条件：P在椭圆上，满足椭圆的方程，这将是我们代换的关键之一

这样便解出了k。带回我们最初的点斜式，并且将其整理得到一个优美的等式

即为过椭圆上除左右顶点之外任意一点的切线方程。

现在假设椭圆外一点M（X0，Y0），过M向椭圆做两条切线，切点分别为A（X1，Y1） 和B（X2，Y2），我们的目标是求出直线AB的方程。回顾我们一开始的思路：A B地位等价（即互换A B的位置并不影响题目任何条件及结论），考虑用方程同解（构）的思想解出方程，此时我们只需要将M点引入我们的体系中

得到这两个等式我们只需将M坐标带入过A，B的切线方程即可，此时仅仅是两个等式。下一步将做出跳跃：注意到他们在结构上的相似性（同构），我们可以确定AB的方程即为

意思是：既然A，B都满足那个结构的方程，同时A B可以确定一条唯一的直线，A B都在这个直线上，那么AB的方程就是这个结构的方程，只需替换成坐标系的变量x y 即可。反之，该直线的方程有两个特殊解，即为A B的坐标。

这样我们就得到了一般情况下的椭圆切点弦方程。回顾一下思路，我们先求出了过椭圆上一点（除左右顶点，过左右顶点的方程斜率不存在，但是可以直接写出）的切线方程，然后带入椭圆外的动点（这个动点决定了切点A B），根据同解（构）的思想就可以得到AB，即为切点弦的方程。

其他的二次曲线，圆，抛物线，切点弦方程的求解比较容易，仍可以用到方程同解思想，不再赘述。