压轴题研题活动第97场2022年青岛第25题

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精彩点评一

认真学习了肖娇龙老师以2022年山东省青岛市中考数学第25题为例的解题研究，反复聆听，受益匪浅。本题中涉及的知识点:勾股定理和平行线的性质、相似三角形的判定与性质，锐角三角函数等基本知识。需要学生有较强的运算能力、推理能力，考察学生分析图形的性质、建立形与数的联系，构建数学问题的直观模型的能力，以及逻辑推理能力和运算能力等核心素养。第(1)问求t的值。肖老师通过三角形相似、锐角三角函数、勾股定理、等面积法等四种思路，4种方法，从求未知数转化到求线段的长度，由浅入深的分析，帮助学生解决问题，渗透转化思想；第(2)问求四边形的面积。肖老师始终站在学生的角度，深入文本解读，渗透转化思想，运用割补法，将四边形转化成规则的几何图形，归纳求面积法的关键是求图形的边长，6种解法，娓娓道来，细致入微。第（3）问是在第（2）问的基础上求t的值，肖老师仍然从三角形相似、锐角三角函数、建系的思路下分析问题，解决问题。肖老师还注重讲解解法之间的联系和比较，由易到难，注重启发学生思考，大大拓展了学生的思维。足见王老师严谨认真的教学态度和扎实的教学水平。研题是教师专业成长的一种历练。肖老师对此题作了充分的学情研究。立足于学生，她始终站在学生的角度，考虑如何去教学，这也是我们一线教师一直致力追求的事情。在教学反思部分，肖老师对学生做的每一问都做了细致的研究，通过对学生的错因分析，分析学生解决本题存在的问题，足见肖老师的用心教学。反思学生的错误，对我们的教学启示，此题难度不大，学生完成度尚可，深入挖掘学生错因，肖老师做了大量研究，深研教材、精读课标，与同事交流如何让学生熟练掌握锐角三角函数的内涵，指出教师重视大单元教学的重要性。也指出教师教学要重视算功，遇到复杂的计算，算不出来，往往也是非常可惜，算功很重要，更要注重算理。肖老师非常的细致和专业。感谢张钦博士提供的研题平台，感谢肖老师的精彩研题，每一次反思都会有成长，肖老师真正做到了以学定教，教学相长。

精彩点评二

认真学习了肖姣龙老师以2022年山东省青岛市中考数学第25题为例的解题教学研究，让我受益匪浅，满载而归。这是一个基于旋转的直角三角形的几何综合题，考查了勾股定理、平行线的性质、三角形相似、锐角三角函数等基本知识，三问由易到难，层层深入。考察了学生分析图形的性质、建立形与数的联系，构建数学问题的直观模型的能力，以及逻辑推理能力和运算能力等核心素养。

第（1）问当EQ⊥AD时，求t的值。这一小问肖老师指出问题本质：求边长的长度，并且介绍了四种解法：相似法、锐角三角函数法、勾股法以及等积法。肖老师的讲题注重学生的解题体验，站在学生解答的角度，分析题目条件的变化，通过特殊条件出发，引导把握问题的本质，关注变化，联系性质，顺势转化，多路突破。从不同角度、不同层次给出了相应的分析，及时搭好解决问题的梯子，让解题方法应运而生。第（2）问设四边形PCDQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式，这一问以面积为“题眼”，对学生的推理能力和计算能力综合考察。肖老师紧紧抓住面积进行突破，通过分割填补的方法将不规则图形转化为求规则图形的面积，提供了6种不同的解法。在此基础上，肖老师非常注重思路分析以及哪种方法更有利于求出此题。第（3）问通过构造等角，相似法和三角函数法来解决并且通过PQ∥CD，还联想到建立平面直角坐标系利用斜率法来求解。

令我印象最为深刻的是肖老师展现的班上学生的解答过程，分析学生的做题思路，总结错误原因。通过反思答题过程，培养检查能力。纠错反思是有效提高学生再审题，培养学生正确解题思维能力的重要环节。很多同学由于缺少纠错过程中的思考，往往造成同类错误一而再再而三的出现。结合自己的教学，如果能够把每次练习中的学生的错误都重新进行进一步的思考，并且认真的分析造成错误的原因，以及记录下错误思维的路径和正确解题的思维路径。我想通过这个深入思考的过程一定会记忆深刻、事半功倍。通过反思自己解题时的思维过程，实际上就是培养自己的检查能力。而让学生养成良好的检查习惯是减少考试失误的有效手段。

最后，感谢肖老师的精心准备，感谢张钦博士提供的这个平台，让我有机会向如此多的高水平教师们学习，对解题教学不断探索，不断成长。

精彩点评三

认真学习了肖老师以2022年山东省青岛市中考数学第25题为例的解题教学研究，收获颇丰。本题是一道几何综合题，考查了勾股定理、平行线的性质、锐角三角函数等知识。通过倾听肖老师的讲解，我有如下体会：

本题共有3小问，第（1）小问将求t转化为求AQ或BP，结合已知条件，分析知易求AQ。肖老师用了4种方法求AQ：相似法（射影定理法）、锐角函数法、勾股定理（双勾股）、等面积法+勾股定理。先多种解法求解，再解法对比。比较了这几种方法的难易程度：若用三角形相似法，首先要证明三角形相似，还要对应边不弄错；用勾股定理要用两次勾股，计算较复杂一些，容易出错；若用等面积法，不能单独求出AQ，需要结合勾股定理，计算容易出错。综合来看，已知一边一角，利用锐角三角函数求线段长度最简单。第（2）小问求不规则四边形PCDQ的面积，肖老师用了多种解法后，再解法归一，求不规则四边形PCDQ面积，可通过分割填补的方法转化成三角形、梯形等规则几何图形，求面积最终归于求边长。在直角三角形中，可以运用勾股定理、锐角三角函数求边长，在一般三角形中，可以找相似三角形、利用面积法求边长，也可以通过作高将一般三角形转化为直角三角形，再利用勾股定理、锐角三角函数求边长。第（3）小问是否存在某一时刻t，使PQ∥CD，肖老师提供了6种不同的方法，通过构造等角、相似法、锐角三角函数法、建立平面直角坐标系利用斜率相等来求解。

令我印象深刻的是肖老师展示的学生的亮点分析和错误分析，研题最终要落实到课堂，肖老师通过反思答题过程，及时发现学生的优点以及学习当中的不足，然后及时的更正教学策略，反馈到课堂教学中去。肖老师着重提到学生的边角转换困难的问题，联想边角转换的相关知识点：等边三角形的判定、等腰三角形的判定、含30°的直角三角形、勾股定理的逆定理、三角函数相似、锐角三角函数。然后回归教材对锐角三角函数的讲解，并对锐角三角函数进行了深刻的思考。锐角三角函数的引入就是从推理证明开始的，抽象且有难度。边的比值引入了新的“正弦”等概念，比较抽象，且对于每一个给定的锐角，学生不能都算出具体边长比，所以学生很难直观理解对于无论多大的直角三角形，锐角度数确定时，边长比值就固定。教材是通过证明特殊的角度30°、45° 的边长比固定，从而由特殊到一般，试图用具体的例子加深学生对锐角三角函数的理解，但是这个证明过程本身就有“门槛”，而求非特殊角的边长比会更加困难，所以从两个特殊角到一般，学生理解有困难。而“一般”的证明，前面已经说过，需要用到相似。对有部分同学来说，相似都没有掌握，对还有一部分同学来说，既然能用相似解决，以后遇到解直角三角形,用更熟悉的相似替代了。另外，根据学生已有的学习函数的经验，都是从列表格、描点、连线，画出函数图像，观察出图像性质再应用。学生已经习惯了这种函数学习方法，对于不一样的锐角三角函数，比较难理 解接受它的“函数味”。总之，入门理解难、函数值抽象难算，应用时，-般情况都可以用相似替代，这大概就是学生较少用锐角三角函数的原因。最后肖老师给出来改进方法：1.借助几何画板让学生直观感受；2.重视教学中的计算器教学；3.初高中衔接；4.借助大单元教学，降低理解困难。这对我今后在几何的教学上有很好的启发作用。

最后，非常感谢肖老师的精神套餐，感谢张钦博士搭建的的这个研题平台，让我有机会向更多高水平的老师学习，让我受益匪浅。

精彩点评四

肖老师以2022年山东省青岛市中考数学第25题为例，将几何中求边和面积的方法进行了归纳和总结，揭示了三角形相似、锐角三角函数等知识的内在联系，可谓研之深，思之全，给了我很多启示。

一、解法多样，如何择优

听肖老师讲题，印象最深的是每一问都有多种解法，这些解法的由来都是站在学生的角度，从已知条件分析，联想所学的某个知识点，自然而然地想到的。如第（1）问中，当EQ⊥AD时，学生第一眼看到的可能是射影定理的基本图形，也可能是等积法的基本图形，也可能是解直角三角形的图形……，无论学生第一眼看到的是什么图形或擅长的是什么知识，都可以求出此题的解，足以体现命题人的智慧。但学生要是三种方法都能想到并有意识的进行比较择优一种方法，那对学生的综合能力要求就更高了，而肖老师就有意识的在讲题或平时的教学中引领学生进行比较择优；再如第（2）问中，肖老师用了6种方法解答，无论哪一种解法，所用到的数学思想都是转化思想，求不规则图形的面积就是分割填补转化成规则图形，求规则图形的面积又转化成求线段的长，在解决这一问时，方法很多，意味着学生面临的选择就多，首先如何分割？如何填补？怎样最优?其次是以哪条边做底？怎样作高？怎样最优？学生无时无刻都在抉择，而在有限的时间内、在紧张的环境中能以最快的速度选择最优的办法，确实需要扎实的基本功，需要丰富的数学活动经验，更重要的是需要有比较和选择最优方法的意识。这一意识的培养，是我在今后的习题课上需要加强和改进的地方。

二、反思学情，追根朔源

肖老师通过分析学生解题的亮点和错误，对教学进行了全面深入的反思，为了弄清楚学生为什么想不到或很少人用三角函数求线段长这一问题，做了大量研究，从教材的内容、章节的设置顺序、教参上的教学建议等多方面进行深研，详细解读2022版新课标对相关章节的要求，并提出了自己的见解和解决方法。其中提到的初高衔接里，我很受启发，初中阶段就是承上启下的一个阶段，七年级面临的是中小衔接，九年级面临的是初高衔接，我们怎样让小学的孩子顺利适应初中数学的学习？怎样让我们的孩子顺利进入高中数学学习状态?这是我们每个初中数学老师都应该思考的问题。仔细研读课标，了解教材内容方知好多知识小学有、初中也有、高中还有，比如函数（小学还没有提高函数这个概念）、统计知识等，那我们平时教学时应该怎么教？教多深？这需要我们研读课标，通读了解小学和高中的教材内容，教学中才好把握这个度。其实教育真正的价值是一种启蒙，一种唤醒，一种打开，一种点燃，一种开悟，一种得道，我想我们只需要在七年级时退半步教学，在九年级时送一程教学，孩子们的数学学习道路会更加顺利。

感谢肖老师的精彩讲题，感谢张钦博士提供的学习平台，让我不断学习和成长！未来继续向各位学习，行稳致远，久久为功！

个人感言

寒假时，看到群里发的研题通知，对于要不要参加，纠结再三。纠结的原因在于我之前并没有参加过这个研题活动，完全没有经验，很忐忑。2022秋季学期刚休完产假回来上班，小孩还小，需要我照顾陪伴，而研题需要耗费大量的时间精力，上班以后在教务处负责课表和调代课等事务，也只能抽碎片化时间修改课件。如果不参加，又非常可惜，近几年因为当班主任和怀孕生子，一直没有参加。有很长时间错误地认为，作为班主任把班级管好、作为数学老师保证好教学质量就行了，忽视了教研，在专业上成长有限。最后，在王娅校长的鼓励下，决定试一试。

关于选题，其实也没有什么经验，在排除了已选题目后，凭直觉选了一个几何综合题，2022年青岛市25题，难度并不高，最难的是教学反思部分，因为选题难度不大，里面的知识点和方法，都是其他老师已经珠玉在前了，所以感觉对于教学反思毫无头绪。去年年前，硬着头皮交了初稿，其实是抱着重在参与的心态，感谢张博士鼓励，给了一个参与的机会。

开学以后，让九年级部分学生试做了本题，然后我对学生的作业批改、统计、分析，根据学生最明显的问题，找到了切入点，也就是学生锐角三角函数的掌握有问题。从这个问题出发，去分析原因，翻教材、课标，和同事交流讨论怎么改进教学、怎么让学生更能理解锐角三角函数的内涵。受篇幅所限，没有说学生运算能力明显不足的问题，学生的计算能力差，但是随着省考的开始，计算的要求是不是可能会水涨船高？怎么改善呢?我的想法是：我们一直都更重视学生的思维，为了提高运算能力，可以加强学生的过程落实，也要更重视学生算理的教学，还有利用等式的性质、分数的基本性质、各种运算律来简化运算，另外加强数形结合简化计算或者利用转化的思想简化计算等，具体的改善方法还要在实践中摸索和继续思考。

因为带毕业班的经验非常有限，这种情况下，粗浅的反思对有经验的各位老师当然没有什么借鉴意义，但是对我个人而言，参与本次活动的过程中，收获非常大。感谢张钦博士提供的教研平台，感谢本次点评的刘金娥老师、卞信老师、罗莤老师、周小倩老师等专家，再次感谢群里的各位老师，你们对研题的热情，对教研的热情，对数学的热情，非常有感染力，是我们学习的榜样！

肖娇龙老师简介

肖娇龙，宜昌市三十中数学教师。善于引导学生自主学习，让学生在数学学习中找到成就感和乐趣。重视教学质量，所带每一届班级，数学成绩都能有显著进步。

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