完全平方公式解

.

. 

v

完全平方公式讲解

第一部分

概念导入

1

．问题：根据乘方的定义，我们知道：

a

2

=a

·

a

，那么（

a+b

）

2

应该写成什么样的形式呢

.

（

a+b

）

2

的运

算结果有什么规律

.

计算下列各式，你能发现什么规律

. 

（

1

）

（

p+1

）

2

=

（

p+1

）

（

p+1

）

=_______

；

（

m+2

）

2

=_______

；

（

2

）

（

p-1

）

2

=

（

p-1

）

（

p-1

）

=________

；

（

m-2

）

2

=_______

；

2

．学生计算

3

．得到结果：

（

1

）

（

p+1

）

2

=

（

p+1

）

（

p+1

）

=p

2

+2p+1 

（

m+2

）

2

=

（

m+2

）

（

m+2

）

= m

2

+4m+4 

（

2

）

（

p-1

）

2

=

（

p-1

）

（

p-1

）

= p

2

-2p+1 

（

m-2

）

2

=

（

m-2

）

（

m-2=m

2

-4m+4 

4

．分析推广：结果中有两个数的平方和，而

2p=2

·

p

·

1

，

4m=2

·

m

·

2

，恰好是两个数乘积的二倍。

（

1

）

（

2

）之间只差一个符号。

推广：计算（

a+b

）

2

=________ 

（

a-b

）

2

=________ 

【

2

】

得到公式，分析公式

（

1

）

．结论：

(a+b)

2

=a

2

+2ab+b

2 

(a-b)

2

=a

2

-2ab+b

2 

即：

两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的

2

倍．

（

2

）公式特征

左边：二项式的平方

右边：二项式中每一项的平方与这两项乘积

2

倍的和．

注意：公式右边

2

ab

的符号取决于左边二项式中两项的符号．若这两项同号，则

2

ab

取“＋”

，若这

两项异号，则

2

ab

的符号为“－”

．

（

3

）公式中字母可代表的含义

公式中的

a

和

b

可代表一个字母，一个数字及单项式．

（

4

）几何解释

图

1

－

5 

图

1

－

5

中最大正方形的面积可用两种形式表示：①（

a

＋

b

）

2

②

a

2

＋

2

ab

＋

b

2

，由于这两个代数式表示

同一块面积，所以应相等，即（

a

＋

b

）

2

＝

a

2

＋

2

ab

＋

b

2

因此，用几何图形证明了完全平方公式的正确性．

【学习方法指导】

［例

1

］计算

（

1

）

（

3

a

＋

2

b

）

2

（

2

）

（

mn

－

n

2

）

2

点拨：运用完全平方式的时候，要搞清楚公式中

a

，

b

在题目中分别代表什么，在展开的过程中要把它

们当作整体来做，适当的地方应打括号，如：进行平方的时候．同时应注意公式中

2

ab

的符号．

解：

（

1

）

（

3

a

＋

2

b

）

2

＝（

3

a

）

2

＋

2

·

（

3

a

）

·

（

2

b

）＋（

2

b

）

2

＝

9

a

2

＋

12

ab

＋

4

b

2

注意：

（

2

）中

n

2

的指数

2

与公式中

b

2

的二次方所代表含义不同，所以在展开过程中不要漏掉“二次

方”

．

［例

2

］计算

（

1

）

（－

m

－

n

）

2

（

2

）

（－

5

a

－

2

）

（

5

a

＋

2

）

点拨：

（

1

）可直接用完全平方公式．由于－

m

与－

n

是同号，所以公式中的

2

ab

取“＋”

．

（

2

）中两个

二项式虽然不同，但若将第一个括号中的“－”提出，则剩下的两个括号里的项完全相同，可利用完全平

方公式进行计算．

解：

（

1

）

（－

m

－

n

）

2