第 6 章 互感耦合电路

ps:本文出自（本文只争对重点进行讲解，更多内容请自行阅读）

学习本章，要掌握以下内容：

1. 理解互感（耦合电感）的概念；

2. 互感电压的正负与同名端的关系；

3. 耦合电感的 T 形等效电路；

4. 全耦合变压器和理想变压器特性；

根据物理学的知识，当把一个电感线圈放在另一个通有变动电流的线圈附近时，本线圈将产生感应电动势，这种现象称为互感现象，所产生的感应电动势称为互感电动势。

N 1 中的总磁通（或称磁链） Φ 1 和 N 2 中的总磁通 Φ 2 与电流之间应有如下的函数关系

图 5-1 （）耦合电感及其符号

Φ 1 = f 1 （ i 1 ， i 2 ） Φ 2 = f 2 （ i 1 ， i 2 ）

设电流 i 1 在 N 1 中产生的自磁通为 Φ 11 ，耦合到 N 2 中的耦合磁通为 Φ 21 ；电流 i 2 在 N 2 中产生的自磁通为 Φ 22 ，耦合到 N 1 中的耦合磁通为 Φ 12 。则在线性情况下，各磁通均与电流成正比，即

式中， L 1 和 L 2 分别为 N 1 和 N 2 的自电感（self⁃inductance）。 M 21 和 M 12 分别为 N 1 对 N 2 和 N 2 对 N 1 的互感（mutual inductance）。由物理学已知， M 21 = M 12 = M， 所以，以后都写作 M 。

在图 5-1（a）所示电流 i 1 、 i 2 的方向下，根据右手定则，可知 Φ 11 和 Φ 12 方向相同， Φ 22 和 Φ 21 方向相同，称为磁通相助。由此可以得出，两个互相耦合的电感，在线性情况下，可以抽象出一个理想的线性耦合电感元件（简称互感），该元件在磁通相助时，其 i - Φ 关系可以表示为

图 5-1（b）为耦合电感元件的电路符号。图中标「·」端称为同名端或对应端。它表示，当电流i1和i2分别从 a、c 端（即黑点端）流入（或流出）时，互感元件的自磁通和耦合磁通方向相同（磁通相助）。但要注意，同名端与i1和i2的参考方向无关，仅与线圈的绕向有关。

如图 5-2（a）所示耦合电路，在所示的 i 1 和 i 2 的方向下，根据右手定则，N 1 中的自磁通 Φ 11 和耦合磁通 Φ 12 方向相反；N 2 中的自磁通 Φ 22 和耦合磁通 Φ 21 方向相反，称为磁通相消。在线性情况下，N 1 和 N 2 构成互感元件，其 i - Φ 特性为

图 5-2 耦合电感及同名端

图 5-2（b）表示磁通相消时的电路模型。其中 a、d 端为同名端。它表明，当 i 1 从同名端流入， i 2 从同名端流出；或 i 1 从同名端流出， i 2 从同名端流入时，在互感元件上磁通相消。

当互感元件两端口的电压与电流方向分别一致时，根据电磁感应定律，有

由式（5-2）和式（5-3），可以得到耦合电感元件的 VCR 如下。

由图 5-3（a）可得

图 5-3 耦合电感元件的 VCR

由图 5-3（b）可得

为了衡量互感元件中两电感耦合的松紧程度，定义耦合系数（coefficient of coupling）

因为

又

Φ 12 ≤ Φ 22 ， Φ 21 ≤ Φ 11

所以有

通常， k ＜0.5，称松耦合；0.5＜ k ＜1，称紧耦合； k =1，称全耦合。在全耦合时，互感最大为

1. T 形等效电路

图 5-5 是空心变压器及其对应的 T 形等效电路。为了分析方便，像图 5-5（a）或（c）那样同名端相连或异名端相连后，由 KCL 知，不会影响电路性能。图 5-5（a）是同名端相连的情况，图 5-5（b）是其对应的 T 形等效电路；图 5-5（c）是异名端相连的情况，图 5-5（d）是其对应的 T 形等效电路。通过等效变换，用 T 形等效电路代替原来的空心变压器后，就不必再考虑互感 M ，这种方法称为互感消除法。不过，图 5-5（b）、（d）中均比原图多了一个节点，但这是保证外部端口等效所必需的。

图 5-5 耦合电感的 T 形等效

下面分析证明图 5-5（a）与图 5-5（b）、图 5-5（c）与图 5-5（d）是互相等效的。

同名端相连时，在正弦稳态下，由图 5-5（a）的相量模型可列出电压方程为

把上式改写为

即

式（5-9）正是图 5-5（b）所示电路的网孔电压方程，所以图 5-5（a）与图 5-5（b）所示电路对于

而言是互相等效的。

异名端相连时，由图 5-5（c）的相量模型可列出电压方程为

仿前，上式也可以改写为

式（5-10）也正是图 5-5（d）所示电路所具有的网孔电压方程，所以图 5-5（c）与图 5-5（d）所示电路对于

而言也是互相等效的。

图 5-6 例 5-1 图

解 先将电路进行 T 形等效。在正弦稳态下，这时阻抗

故

从而电流

故

若变压器一次绕组的磁通全部穿过二次绕组，二次绕组的磁通也全部穿过一次绕组，即耦合系数 k =1，称这种状态为全耦合。因为在全耦合时， Φ 11 = Φ 21 ， Φ 22 = Φ 12 ，所以

取二式之比，得

下面研究全耦合变压器（perfect coupled transformer）的电压和电流的关系。图 5-11（a）所示电路是全耦合变压器电路，其 KVL 方程为

图 5-11 全耦合变压器及其等效电路

由于在全耦合下，

代入上面二式得

将上面二式相除，并代入式（5-14），得

即全耦合变压器

电压比等于它们的匝数之比。这是全耦合变压器的第一个重要特性。由式（5-15）可得

由于

代入上式，得

上式是全耦合变压器的另一个重要关系。若令

则式（5-18）可以写为

当

时，

就是变压器的一次侧电流，该电流称为磁化电流。考虑到

所以

综合起来，即

上式正意味着等效电路如图 5-11（b）所示。其中二次侧负载 Z 2 在等效电路中相当于扩大为（ N 1 /N 2 ） 2 倍的阻抗。这体现了全耦合变压器变换阻抗的作用。

前面介绍的全耦合变压器有两个假设：一是耦合系数 k =1，二是变压器本身无任何损耗。如果再增加一个条件，即 L 1 、 L 2 和 M 均趋于无限大，但

为有限值，则称其为理想变压器（ideal transfomer）。图 5-12 为理想变压器的电路图。理想变压器的端口特性（VCR）定义如下：

图 5-12 理想变压器及其特性

式中，电流关系中的负号是因 i 2 假设为流入 N 2 所致。

由于理想变压器的电感 L 1 为无穷大，故工作时无磁化电流。在正弦稳态下，理想变压器的端口特性为

或

由上可知，理想变压器是关于电压和电流的线性变换器。

当理想变压器二次侧接入负载 Z 2 时，由于

如图 5-13（a）所示，则它的输入阻抗

图 5-13 理想变压器的输入阻抗

上式表明：理想变压器可以进行阻抗变换，其大小与匝数比的平方成正比。图 5-13（b）是图 5-13（a）的入口等效电路。

顺便指出，实际铁心变压器的电磁性能是非常复杂的，但在理论分析时，可以先不考虑次要因素的影响，以理想变压器的 VCR 为依据进行分析，然后再考虑实际因素。

例 5-3 如图 5-14（a）所示电路，电源电压有效值 U =10 V，其内阻为 500 Ω。若设负载电阻为 5Ω，则负载得到的功率很小。今在电源与负载间接入一理想变压器，使变压器的输入阻抗为 500 Ω，则负载可获得最大功率。如图 5-14（b）所示，求变压器的匝数比。

图 5-14 例 5-3 图

解 由于变压器的输入阻抗

即应该使

从而得

即变压器的一次匝数是二次匝数的 10 倍。