[统计学笔记] （十三）指数分析（2）

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[统计学笔记] （十三）指数分析（2）

2023-05-22 09:59| 来源: 网络整理| 查看: 265

（十三）指数分析（2）

指数体系与因素分析

指数体系是指由三个或三个以上的具有内在联系的指数构成的有一定数量对等关系的整体。指数体系的形式不是随意的，而是由现象间客观存在的必然联系决定的。例如，

产品产值＝产品产量×产品价格

商品销售额＝商品销售量×商品价格

全员劳动生产率＝生产成果×职工（平均）人数

……

上述这些现象在数量上存在的联系，表现在动态变化上，就可以形成如下指数体系：

产品产值指数＝产品产量指数×产品价格指数

商品销售额指数＝商品销售量指数×商品价格指数

全员劳动生产率指数＝生产成果指数×职工（平均）人数指数

在指数体系中，包含的指数分为两大类：一类是反映现象总变动的指数，通常表现为广义的总指数，这类指数在一个指数体系中只有一个，一般放在算式的左边；另一类是反映某一因素变动的指数，称为因素指数，这类指数在一个指数体系中可以是多个，一般放在等式的右边。

利用指数体系可以进行因素分析。指数体系是利用指数对现象变化进行因素分析的根据，借助指数体系可以从相对数和绝对数两个方面分析各因素的变动对现象总变动的影响。

利用指数体系还可以进行指数间的相互推算。在一个指数体系中，当已知其中某几个指数时，可以利用指数体系表现的数量关系,推算出某个未知指数的值。

从数量上测定各因素的变动对现象总变动的影响，主要包括两类问题：一类是对数量指标变动的因素分析；另一类是对质量指标变动的因素分析。下面就这两类问题，说明利用指数体系进行因素分析的方法。

１、数量指标变动的指数分析

数量指标变动的指数分析可以考查多个影响因素的现象。其分析原理与考查两个影响因素是类似的。因此，我们只讨论双因素分析方法。

由前面综合指数的基本形式可以发现，某现象的总变动可用下述模型描述：

基本模式：

$\overline{k_{qp}} = \overline{k_{q}} \times \overline{k_{p}}$

模式 I： $\frac{\sum q_{1}p_{1}}{\sum q_{0}p_{0}} = \frac{\sum q_{1}p_{0}}{\sum q_{0}p_{0}} \times \frac{\sum q_{1}p_{1}}{\sum q_{1}p_{0}}$

模式 II ： $\frac{\sum q_{1}p_{1}}{\sum q_{0}p_{0}} = \frac{\sum q_{0}p_{1}}{\sum q_{0}p_{0}} \times \frac{\sum q_{1}p_{1}}{\sum q_{0}p_{1}}$

表2 指数计算表

单位：万元

产品

按基期价格计算

按报告期价格计算

产值变动

基期产值

报告期产值

基期产值

报告期产值

$p_{0}q_{0}$

$p_{0}q_{1}$

$p_{1}q_{0}$

$p_{1}q_{1}$

$p_{0}q_{1} - p_{0}q_{0}$

$p_{1}q_{1} - p_{0}q_{1}$

甲

11.5

乙

11.0

12.1

1.1

丙

6.3

7.5

7.875

1.5

1.575

合计

28.8

28.5

31.475

2.5

2.675

将表2的有关数据代入上述指数体系中，得到：

$\frac{31.475}{26} = \frac{28.8}{26} \times \frac{31.475}{28.8}$

$31.475-26=\left ( 28.8-26 \right ) + \left ( 31.475-28.5 \right )$

于是，从相对数和绝对数两个方面分别表示产品产值、产品产量和产品价格三者数值变动的关系是：

121.06％＝110.77％×109.29％

5.475万元＝2.8万元＋2.675万元

和：

121.06％＝109.61％×110.43％

5.475万元＝2.5万元＋2.975万元

根据上述计算结果，就可以对该现象的变动情况进行分析。

2、质量指标变动的指数分析

在现实生活中，需要对两个时期同一现象的质量指标的变动进行分析。例如,分析平均工资的变动；分析全员劳动生产率的变动；分析单位产品成本的变动等等。这些分析就要利用质量指标指数体系进行。下面我们以平均工资为例说明其分析过程。

由于现象的总平均水平，一般都是在分组的条件下，用加权算术平均数计算的。因此，两个时期同一现象总平均水平的变动,往往要受到两个因素的共同影响,一个是各组平均水平变动的影响;另一个是总体内部结构变动的影响。为了反映总平均指标的变动，并进一步分析组平均水平和总体内部结构变动对总平均水平变动的影响，需要计算三个指数：可变构成指数、固定构成指数和结构变动影响指数，并建立相应的指数体系作出因素分析。三个指数的计算公式及其指数体系为：

基本模式为： $\overline{k_{xf}} = \overline{k_{x}} \times \overline{k_{f}}$

同样，具体模式也有两种，我们只讨论其中一种。

（1）可变构成指数 $\overline{k_{xf}} = \frac{\overline{x_{1}}}{x_{0}} = \frac{x_{1}f_{1}}{f_{1}} \div \frac{x_{0}f_{0}}{f_{0}}$

可变构成指数

式中：

$x_{1}$ —报告期组平均指标

$x_{0}$ —基期组平均指标

$f_{1}$ —报告期总体单位数

$f_{0}$ —基期总体单位数

可变构成指数受两个因素变动的影响：

1）各组平均指标(x)变动的影响；

2）总体结构(f／∑f)变动的影响。

（2）固定构成指数

为了反映各组平均水平变动的程度，消除总体结构变动的影响，需要编制固定构成指数，把总体结构固定在报告期。

固定构成指数： $\overline{k_{x}} = \frac{x_{1}f_{1}}{f_{1}} \div \frac{x_{0}f_{1}}{f_{1}}$

（3）结构变动影响指数

为了反映总体结构变动对总平均水平变动的影响，将各组平均水平固定在基期,编制结构变动影响指数。

结构变动影响指数： $\overline{k_{f}} = \frac{\sum {x_{0}f_{1}}}{\sum{f_{1}}} \div \frac{\sum{x_{0}f_{0}}}{\sum{f_{0}}}$

上述三个指数构成如下指数体系：

可变构成指数＝固定构成指数×结构变动影响指数

即： $\frac{\frac{\sum x_{1}f_{1}}{\sum f_{1}}}{\frac{\sum x_{0}f_{0}}{\sum f_{0}}} = \frac{\frac{\sum x_{1}f_{1}}{\sum f_{1}}}{\frac{\sum x_{0}f_{1}}{\sum f_{1}}} \times \frac{\frac{\sum x_{0}f_{1}}{\sum f_{1}}}{\frac{\sum x_{0}f_{0}}{\sum f_{0}}}$

绝对数变动的关系是：

$\frac{\sum x_{1}f_{1}}{\sum f_{1}} - \frac{\sum x_{0}f_{0}}{\sum f_{0}}= \left ( \frac{\sum x_{1}f_{1}}{\sum f_{1}} - \frac{\sum x_{0}f_{1}}{\sum f_{1}} \right ) +\left ( \frac{\sum x_{0}f_{1}}{\sum f_{1}} - \frac{\sum x_{0}f_{0}}{\sum f_{0}} \right )$

现以表3企业职工平均工资的变动分析为例说明其计算过程。

根据表3的资料，计算可变工资指数表明企业全体职工平均工资变动程度为107.27％，提高7.27％，即：

可变工资指数为： $\frac{590}{550} = 1.0727$ ，即107.27％

表3 某企业职工平均工资指数分析表

职工

类别

职工人数(人)

平均工资(元)

工资总额(万元)

基期

报告期

基期

$x_{0}$

报告期

$x_{1}$

基期

$x_{0}f_{0}$

报告期

$x_{1}f_{1}$

假定

$x_{0}f_{1}$

人数

$f_{0}$

比重

(％)

人数

$f_{1}$

比重

(％)

老职工

250

50.0

180

30.0

700

800

1.75

1.44

1.26

新职工

250

50.0

420

70.0

400

500

1.00

2.10

1.68

合计

500

100

600

100

550

590

2.75

3.54

2.94

从表3的资料可以看出,企业职工的人员结构（比重）是有变动的。其工资水平较高的老职工人数所占比重，从基期的50％下降到报告期的30％，而工资水平较低的新职工人数所占比重，从基期的50％上升到报告期的70％。这就必然会影响企业职工总平均工资的提高。为了消除人员结构变动的影响，应计算固定构成指数来反映企业新老职工两组工资水平平均变动的程度，即：

固定工资指数： $\frac{590}{490} = 1.204$ ，即120.4％

为了分析人员结构变动，对企业职工总平均工资变动的影响，应计算人员结构变动影响指数，即：

人员结构变动影响指数： $\frac{490}{550} = 0.8909$ ，即89.09％

根据前述指数体系可知，上述三个指数数值的关系是：

107.27％＝120.4％×89.09％

绝对数变动的关系是：

590－550＝(590－490)＋(490－550)

即：40元＝100元＋(－60元)

计算结果表明，企业新老职工的组平均水平的提高，使企业总平均工资可以提高20.4％，平均增加100元。但由于企业工资低的新职工人数比重增加，影响企业总平均工资下降10.91％，平均减少60元。两个因素共同作用的结果，最终使企业职工的总平均工资只提高了7.27％，平均增加40元。

3、多因素分析

指数体系还可以由4个或4个以上的指数构成,以分析多个因素对总变动的影响作用。如下述模型:

（1）原材料消耗额=产品产量×单位产品原材料消耗量×单位原材料价格

（2）总产值=职工人数×工人数占职工人数比重×工人劳动生产率

（3）利税额=销售量×销售价格×利税率

其基本模式为:

$\frac{\sum q_{1}m_{1}p_{1}}{\sum q_{0}m_{0}p_{0}} = \frac{\sum q_{1}m_{0}p_{0}}{\sum q_{0}m_{0}p_{0}} \times \frac{\sum q_{1}m_{1}p_{0}}{\sum q_{1}m_{0}p_{0}} \times \frac{\sum q_{1}m_{1}p_{1}}{\sum q_{1}m_{1}p_{0}}$

以（1）为例，式中：

第1部分为原材料消耗额指数；

第2部分为产品产量指数；

第3部分为单位产品原材料消耗量指数；

第4部分为单位产品原材料价格指数。

其绝对数分析模式为：

$\sum q_{1}m_{1}p_{1} - \sum q_{0}m_{0}p_{0}= \left ( \sum q_{1}m_{0}p_{0} - \sum q_{0}m_{0}p_{0}\right ) + \left ( \sum q_{1}m_{1}p_{0} - \sum q_{1}m_{0}p_{0} \right ) +\left (\sum q_{1}m_{1}p_{1} \right - \sum q_{1}m_{1}p_{0} )$

表4多因素分析计算表

商品

销售量(吨)

销售价(元/公斤)

利税率(%)

利税额(元)

基期

报告期

基期

报告期

基期

报告期

$q_{0}m_{0}p_{0}$

$q_{1}m_{0}p_{0}$

$q_{1}m_{1}p_{0}$

$q_{1}m_{1}p_{1}$

Ⅰ

600000

615000

541200

577280

Ⅱ

100

120

736000

883200

806400

856800

合计

—

1336000

1498200

1347600

1434080

以表4的有关数据为例，可以进行分析计算。

计算结果，相对变动影响为:

107.34% = 112.14% × 89.95% × 106.24%

绝对变动影响为:

98080(元)=162200(元)+(-150600)(元)+86480(元)

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