Chapter 11 偏微分方程

最后更新日期：2020-04-29

本课程于第六学期修读，需要首先掌握高等代数、数学分析、常微分方程等相关知识，点击这里查看常微分方程笔记。

本篇讲讲数学物理方程(偏微分方程)课程开课两个月以来的课程小结. 参考教材: 朱长江, 阮立志. 偏微分方程简明教程.

偏微分方程课程主要讲了什么?

主要内容为对于双曲型、抛物型和椭圆型方程的求解, 这也是教材第四、五、六章的主要内容. 从物理学的角度来看, 它们是波动方程、热传导方程与位势方程.

在讲述实际的求解方法之前, 前三章先从偏微分方程基本概念与偏微分方程的物理与力学来源开始谈起, 介绍偏微分方程的特征理论与变量分离法进行特定形式的求解.

这里我们假定大家已经熟悉常微分方程和数学分析的知识.

与常微分方程类似, 偏微分方程的阶数规定为: 方程中所含未知函数的偏导数中的最高阶数. 如方程 \[u_{t}+u u_{x}=u_{x x}\tag{1.1}\] 是二阶方程, 而方程 \[u_{t}+u u_{x}=(u_{x})^3\tag{1.2}\] 是一阶方程. 很多初学者会将式\((1.2)\)误认为是3阶方程, 混淆了阶数与次数的概念, 这是不正确的.

线性微分方程的定义是: 微分方程中关于未知函数及其各阶偏导数都是线性的. 这一看其实对初学者是有点抽象的, 事实上, 这是要求未知函数及其各阶偏导数都要有系数，且系数仅能直接由各自变量构成, 我们给出下面的例子加以说明: \[u_t-u_{xx}+te^xu=0\tag{1.3}\] 是线性方程, 因为\(u_t\)与\(u_{xx}\)的系数为1, 而\(u\)的系数为\(te^x\), 是直接由自变量\(x\)与\(t\)构成的函数, 因而方程\((1.3)\)是齐次的. 而方程 \[u_t-(u_x)^2=0\tag{1.4}\] 不是线性方程, 问题出在\((u_x)^2\)项上, 该项显然不是线性的.

如果微分方程中的自由项为\(0\), 换句话说, 不含有未知函数\(u\)及其偏导数的项为\(0\), 我们称其为齐次方程, 否则为非齐次方程. 这与常微分方程中的齐次定义一致, 此处不再阐述.

下列记号是我们经常会遇到的.

Laplace算子\(\Delta\) \[\Delta=\frac{\partial^{2}}{\partial x_{1}^{2}}+\frac{\partial^{2}}{\partial x_{2}^{2}}+\cdots+\frac{\partial^{2}}{\partial x_{n}^{2}}.\] 我们将其称为\(n\)维空间的Laplace算子, 亦可记为\(\Delta_n\).

梯度算子\(\nabla\) \[\nabla=\frac{\partial}{\partial x_1} \bar{i_1}+\frac{\partial}{\partial x_2} \bar{i_2}+\cdots+\frac{\partial}{\partial x_n} \bar{i_n}.\] 梯度在数学分析中也有提到, 在后面几章中我们会用到这些记号.

\(\square\)算子 \[\square u=\frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}}-a^{2} \Delta u.\]

边界条件主要分为三类：

第一边界条件(Dirichlet boundary): 给出未知函数在边界上的值, 即形如 \[\left.u\right|_{\Gamma}=\varphi(x, y, z, t)\tag{1.5}\] 第二边界条件(Neumann boundary): 给出未知函数在边界外法线的方向导数, 即形如 \[\left.\frac{\partial u}{\partial \nu}\right|_{\Gamma}=\varphi(x, y, z, t)\tag{1.6}\] 第三边界条件(Robin boundary): 给出未知函数在边界上的函数值和外法线的方向导数的线性组合, 即形如 \[\left.\left(\frac{\partial u}{\partial \nu}+\sigma u\right)\right|_{\Gamma}=\varphi(x, y, z, t)\tag{1.7}\]

关于其他类型的偏微分方程如: 拟线性、半线性、完全非线性偏微分方程, 可以参考教材, 此处亦不再阐述.

本节我们将讨论范围限制在二阶偏微分方程上. 我们先从特征方程与特征曲面说起.

对于\(n\)个自变量的二阶线性方程 \[\sum_{i, j=1}^{n} a_{i j} \frac{\partial^{2} u}{\partial x_{i} \partial x_{j}}+\sum_{i=1}^{n} b_{i} \frac{\partial u}{\partial x_{i}}+c u=f\tag{2.1}\] 其中\(a_{ij}=a_{ji}\), \(a,b,c,f\)都为\(x_1,\cdots,x_n\)的已知函数, 我们定义其特征方程为 \[\sum_{i, j=1}^{n} a_{i j} \alpha_{i} \alpha_{j}=0.\tag{2.2}\] 其中\(\alpha_{i}\)为方向余弦, 满足\(\sum_i\alpha_i^2=1\).

定义特征曲面为 \[\sum_{i, j=1}^{n} a_{i j} \frac{\partial G}{\partial x_{i}} \frac{\partial G}{\partial x_{j}}=0.\tag{2.3}\] 特别地, 对于两个自变量\(x,y\)的情形, 有方程 \[au_{xx}+2bu_{xy}+cu_{yy}=F\] 对应特征方程为 \[a\mathrm{d}y^2-2b\mathrm{d}x\mathrm{d}y+c\mathrm{d}x^2=0\tag{2.4}\] 可能看到这里会有一点懵, 不知道做这些是为了什么, 我们下面给出通过特征方程的首次积分诱导出变量替换, 进而把二阶方程化为标准形式的方法.

我们直接给出如下结论：对于如下形式的方程 \[a u_{x x}+2 b u_{x y}+c u_{y y}+d u_{x}+e u_{y}+g u=f\tag{2.5}\] 其中\(a,b,c,d,e,g,f\)都是自变量\(x,y\)的已知函数, 且二阶偏导数连续, \(a,b,c\)不同时为\(0\), 则有判别式 \[\Delta=b^2-ac\tag{2.6}\] 是可逆自变量参数变换下的不变量. (这与微分几何中的第一、第二基本形式类似, 在可容许的参数变换下具有不变性), 并且应当注意与一元二次方程不同, 判别式是\(b^2-ac\)而不是\((2b)^2-ac\).

有了判别式之后, 我们给出二阶方程在二元情况下的分类. 设\(\Omega\subset\mathbb{R}^2\), \((x_0,y_0)\in\Omega\), 则有

若\(\Delta(x_0,y_0)>0\), 则方程\((2.5)\)在\((x_0,y_0)\)处为双曲型偏微分方程. 若在\(\Omega\)内每一点均为双曲型方程, 则称方程\((2.5)\)为双曲型偏微分方程.

若\(\Delta(x_0,y_0)=0\), 则方程\((2.5)\)在\((x_0,y_0)\)处为抛物型偏微分方程. 若在\(\Omega\)内每一点均为抛物型方程, 则称方程\((2.5)\)为抛物型偏微分方程.

若\(\Delta(x_0,y_0)0\), 则令\(\lambda_1=\frac{b+\sqrt[]{\Delta}}{a}\), \(\lambda_2=\frac{b-\sqrt[]{\Delta}}{a}\), 有首次积分后得到的两族特征线 \[\left\{\begin{array}{l} \varphi(x, y)=y-\lambda_{1} x=c_{1} \\ \psi(x, y)=y-\lambda_{2} x=c_{2} \end{array}\right.\tag{2.7}\] 其诱导了一可逆自变量变换 \[\left\{\begin{array}{l} \xi=\varphi(x, y)=y-\lambda_{1} x \\ \eta=\psi(x, y)=y-\lambda_{2} x \end{array}\right.\tag{2.8}\] 此时方程化为形如 这时方程变成 \[ u_{\xi \eta}=D u_{\xi}+E u_{\eta}+G u+F(\xi, \eta)\tag{2.9} \] 其中\(D,E,G\)都是常数. 我们称这一形式为双曲型方程的第一标准型. 若再引入新的自变量变换 \[\bar{x}=\xi+\eta, \quad \bar{y}=\xi-\eta\tag{2.10}\] 则方程又可化成 \[ u_{\bar{x} \bar{x}}-u_{\bar{y} \bar{y}}=D_{1} u_{\bar{x}}+E_{1} u_{\bar{y}}+G_{1} u+F_{1}(\bar{x}, \bar{y})\tag{2.11} \] 称为第二标准型.

若\(\Delta=0\), 此时仅有一族实特征线\(\varphi(x,y)=y-\frac bax\). 作可逆的自变量变换 \(\xi=\varphi(x, y)=y-\frac{b}{a} x, \eta=\psi(x, y)=y\), 化为 \[ u_{\eta \eta}=D_{2} u_{\xi}+E_{2} u_{\eta}+G_{2} u+F_{2}(\xi, \eta)\tag{2.12} \] 称为抛物型方程的标准型.

若\(\Delta