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目录 1 函数与 向量/矩阵 2 初等数学的函数 2.1 函数 2.2 函数的定义:定义域 →映射→ 值域 3 高等数学里的函数:定义域和陪域/到达域(非值域)的映射关系 3.1 函数 3.2 单射,满射,双射等都是针对定义域 和 陪域的 3.3 易错地方:值域较小且是被决定的 3.4 单射,满射,双射 4 函数和反函数 → 矩阵和逆矩阵 4.1 函数和反函数 4.2 矩阵和逆矩阵 (待完善) 1 函数与 向量/矩阵下面两者形式类似,本质也类似 函数的: ax=y ,常规函数里,a,x,y 一般都是单个数矩阵: AX=Y , 矩阵乘法,这里 A,x,y 一般都是向量/矩阵线性代数,就是处理 数组和矩阵(数组的数组)的学科 2 初等数学的函数 2.1 函数形如 ax=y=f(x)的就是函数 自变量 input:x ,原像因变量 output:y=f(x) ,像函数/变化规则/映射法则 function :f定义域domain: 自变量x的取值范围就是定义域,集合x值域 range: 因变量f(x)=y 的取值范围就是值域, 所有x的像的集合? 2.2 函数的定义:定义域 →映射→ 值域从映射的角度来看,定义域,值域 函数定义域里的每个值x,必须有且只有一个值y与之对应 每个x不能是0个y对应每个x都必须对应1个y每个x不能对应多个y 函数值域里的每个值y,必须有一个定义域的x与之对应 每个y都有1个x对应有的y可能都多个x对应到它如果从图形上来说 函数f(x) 是从定义域 → 值域下面定义域里打叉×的点都是错的下面值域里打叉×的点都是错的 3 高等数学里的函数:定义域和陪域/到达域(非值域)的映射关系 3.1 函数形如 ax=y=f(x)的就是函数 自变量 input:x ,原像因变量 output:y=f(x) ,像函数/变化规则/映射法则 function :f定义域domain: 自变量x的取值范围就是定义域,集合x值域 range: 因变量f(x)=y 的取值范围就是值域, 所有x的像的集合?陪域/ 到达域codomain :因变量f(x)=y 可能的范围,集合y 3.2 单射,满射,双射等都是针对定义域 和 陪域的 理清概念这个只针对 定义域 → 陪域/到达域不针对 定义域 → 值域就这么简单粗暴前面的函数的映射定义,可能算初等数学的把这个加入了 陪域/到达域的映射定义,可能算高等函数的把 3.3 易错地方:值域较小且是被决定的 定义域,值域取值范围都选 R 或者 R+而值域,一般不存在选范围的问题,因为是同感 y=f(x) 一一映射决定的,一般肯定都是R的一个较小的子集!!比如提前一个例题 为什么y=x^2 不是满射,因为都是针对 定义域 R→ 陪域/到达域R,而值域是R+,因此不是满射 3.4 单射,满射,双射 非函数: 定义域里有的x对应了多个y,这种情况还是非函数单射: 定义域里的每个x 都有唯一的y对应。(但是有的y可能没有x对应)非单射: 定义域里的每个x 都有y对应,但是可能对应相同的y满射: 到达域里(非值域)的每个y 都有x对应 (但是有的y可能对应的2个x)非满射: 到达域里(非值域)不是每个y 都有x对应,有些y值没有x映射特例双射: 定义域中的x 和值域中y 分别一一对应双射的意义,只有满秩的双射矩阵,一定可逆矩阵(见下面) 单射非满射: 普通单射,只单射,不满射单射&满射: 双射非单射&满射:非单射&非满射: 4 函数和反函数 → 矩阵和逆矩阵双射的意义,只有满秩的双射矩阵,一定可逆矩阵(见下面) 普通函数,直接让y 映射到x,很可能就不是函数下面图可以看到,直接让y 映射到x,很可能1个y会映射多个x,这样就不是函数 4.1 函数和反函数如果一个函数 y=f(x)=ax 反过来 x=f(y) 如果x和y调换,如果不是满射,反过来就不是单射,函数就不存在反函数所以 函数必须是 双射,这个函数才会有反函数。双射的函数,一定有反函数,见下图 4.2 矩阵和逆矩阵 (待完善) 同理,矩阵必须是满秩的,才会有逆矩阵详细的需要写 |
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