震荡型间断点怎么理解()

#标题创作挑战#

懂高数的朋友应该经常听到函数可积的概念。但这个概念其实有点晦涩，因为积分至少包括不定积分和定积分。“可积”是指函数有不定积分还是定积分？这个说法好像不太统一。

老黄之前没想过这个问题，所以一直混淆这两个概念。直到老黄提出一个问题，他才发现有必要澄清这个概念。问题是“函数有原函数的连续性的条件是什么？”

我们知道，函数的不定积分是由它的所有原函数组成的函数族。也就是说，函数有原函数就一定有不定积分，有不定积分就一定有原函数。所以可以认为它们是等价的。那么，如果可积包含函数有不定积分，那么对于它们来说，连续性的条件应该是相同的。但事实上并非如此。

因为可积更多的是用在定积分的概念中，它至少要包含定积分的含义。但如果函数具有第一类不连续性，那么函数是否具有原函数，是否可积，就有不同的结论。

如果函数有第一类间断点，那么函数就不会有原函数，但如果函数只有有限个第一类间断点，就不会影响函数的可定义积分。这太尴尬了。所以我们只能帮不定积分选边站，或者把它当作与原函数等价的函数，这样“可积”就没有它的份了。要么把它算作定积分的一面，那就不能等价于函数有原函数。显然，选择前者更合理。所以以后老黄的“可积”只是指函数的定积分，而不是函数的不定积分。

说了这么多，只是澄清一个概念。肯定有很多聪明的朋友不高兴，说老黄胡说八道。不过老黄觉得这个问题有必要澄清一下。至少可以证明老黄是个傻子。

接下来，我们就事论事。通过一个证明和一个例子，证明了连续性不是函数有原函数的必要条件。

证明了每一个具有第一类间断的函数都没有原函数。

证明:设x0是f(x)的第一类不连续，若f(x)是F(x)在U(x0)上的原函数，[用反证法]

那么F'(x)=f(x)，x∈U(x0)。

因此，(lim(x→x0-)f(x)= lim(x→x0-)f '(x)= f '-(x0)= f '(x0)= f(x0)。【这是核心的唯一一步。第一步就是简单的替换。相信很多朋友看不懂第二个等号。因为左导数有极限形式，即x→x0-。两个极限形式相同，自然就统一了。第三步，左导数等于导数，否则不可导。最后一步简化为f(x0)]

有lim(x→x0+ )f(x)=f(x0)。

即f(x)在x0处连续且矛盾。∴对原始命题的证明。

正是这个定理使人们误解了连续性是函数有原函数的必要条件。接下来通过实例证明，连续性不是函数有原函数的必要条件。

比如证明了具有第二类间断的函数可能有原函数。

伴随式:如果tanx在x=π/2处具有无穷不连续性，则属于第二类不连续性，

和∫ tan xdx =-ln | cosx |+C .

即-ln|cosx|是tanx的一个原函数。

此外，xsin(1/x)的导数sin(1/x)-1/x*cos(1/x)在x=0处具有振荡不连续性，

但是xsin(1/x)是它的一个原函数。

∴连续性不是函数有原函数的必要条件。

最后证明“连续是原函数的充分条件”就完美了。但那需要有变上限定积分的知识。黄自己也没办法！嘻嘻！！！！后面分享给大家，因为老黄的作品比较系统，定点的部分还没有涉及，所以再卖个关子。如果你想知道会发生什么，请听…下一次，它将被分解！

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