第二章随机过程的基本概念与结论第1节基本概念

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第二章随机过程的基本概念与结论第1节基本概念

2023-12-19 11:01| 来源: 网络整理| 查看: 265

首先需要说明的是，这一章讲的不是随机过程这门课，而是随机过程一般概念和结论，为以后讲特殊的随机过程(如Brown运动，鞅，Markov过程等)做准备。

本节的重点是

什么叫随机过程？“两个随机过程互为修正”与“两个随机过程无差别”的定义是什么，两者有什么联系？什么是 $\sigma$ 代数流？如何定义 $\sigma$ 代数流的连续性？什么叫可测过程、适应过程、循序过程？三者有何关系？

这一节用 $\mathbb{R}^+$ 表示区间 $[0,+\infty)$ ,并假定概率空间 $(\Omega,\mathscr{F},\mathrm{P})$ 是完备的，即 $\mathscr{F}$ 中的任意零测集，其子集也属于 $\mathscr{F}$ .

定义2.1(随机过程) 设 $(\Omega,\mathscr{F},\mathrm{P})$ 是概率空间， $(E,\mathscr{E})$ 是可测空间，指标集是 $\mathbb{R}^+$ 的子集。若对任意 $t\in T$ , $X_t:\Omega\to E$ 是随机变量，则称 $(X_t)_{t\in T}$ 是概率空间 $(\Omega,\mathscr{F},\mathrm{P})$ 上取值于的随机过程。在不引起歧义时，可简称是随机过程。称 $(E,\mathscr{E})$ 为该随机过程的相空间或者状态空间。称为随机过程的时间域。对每个固定的 $\omega\in\Omega,~(X_t(\omega))_{t\in T}$ 称为相应于 $\omega$ 的轨道。每个轨道都是关于的一元函数。

定义2.2(随机过程的修正) 设 $(X_t)_{t\in T}$ 和 $(Y_t)_{t\in T}$ 是概率空间 $(\Omega,\mathscr{F},\mathrm{P})$ 上的随机过程。若 $\forall t\in T$ ,存在零测集 N_t , 使得 $\forall\omega\in\Omega\setminus N_t$ , 有 $X_t(\omega)=Y_t(\omega)$ , 即

则称 $(X_t)_{t\in T}$ 和 $(Y_t)_{t\in T}$ 互为修正。

定义2.3(随机过程无区别) 设 $(X_t)_{t\in T}$ 和 $(Y_t)_{t\in T}$ 是概率空间 $(\Omega,\mathscr{F},\mathrm{P})$ 上的随机过程。若存在与时刻无关的零测集 , 使得 $\forall\omega\in\Omega\setminus N$ 以及所有的 $t\in T$ , 有 $X_t(\omega)=Y_t(\omega)$ ,即

则称 $(X_t)_{t\in T}$ 和 $(Y_t)_{t\in T}$ 无区别。

容易证明，两个过程无区别，一定互为修正；反之，若是至多可数集，则两个互为修正的过程，是无区别的。

“反之”的结论中，若去掉至多可数的条件，会出现反例。设

表示 $[0,+\infty)$ 的Borel集全体， $\mathrm{P}$ 表示 $\Omega$ 上的概率测度，使得单点集的测度均为零。设 $T=[0,+\infty)$ . 对 $\omega\in\Omega,~t\in T$ , 构造 $Y_t(\omega)=0$ , 以及

这时过程和互为修正，因为对任意固定的 $t\in T$ ,

但是和并非无区别，因为

若 $T=\mathbb{R}^+$ ，能否施加条件，使得两个随机过程互为修正与无差别等价？事实上是可以的，定理2.5给出了回答。

定义2.4(随机过程a.s.连续) 设 $(X_t)_{t\in\mathbb{R}^+}$ 是概率空间 $(\Omega,\mathscr{F},\mathrm{P})$ 上的随机过程。若存在零测集 , 使得对每个 $\omega\in\Omega\setminus N$ , 轨道 $(X_t(\omega))_{t\in\mathbb{R}^+}$ 连续，则称随机过程a.s.连续。特别地，若对所有 $\omega\in\Omega ,~ (X_t(\omega))_{t\in\mathbb{R}^+}$ 都是连续的，则称随机过程是连续的。

类似地，可以定义随机过程(a.s.)右连续和(a.s.)左连续。注意，左连续是在 $(0,+\infty)$ 上讨论的。

定理2.5(互为修正与无差别的等价性) 设随机过程 $(X_t)_{t\in\mathbb{R}^+}$ 和 $(Y_t)_{t\in\mathbb{R}^+}$ 都是a.s.右(左)连续的，则它们互为修正，当且仅当它们无区别。

证明：充分性显然，只需证必要性。注意非负有理数集 $\mathbb{Q}^+$ 是可数集，可数个零测集的并是零测集，所以

再排除一个零测集[即，使 X_t 或 Y_t 不是右(左)连续的 $\omega$ 全体]，利用右(左)连续性，即得

证毕。 $\blacksquare$

接下来需要讨论随机过程的可测性，以及它与连续性的关系，为此，首要工作是引入 $\sigma$ 代数流(Filtration). 在定义2.6和2.7中，只需是 $\mathbb{R}^+$ 的子集。

定义2.6( $\sigma$ 代数流) 设 $(\Omega,\mathscr{F},\mathrm{P})$ 是概率空间， $(\mathscr{F}_t)_{t\in T}$ 是 $\mathscr{F}$ 的一族 $\sigma$ 代数。如果 $s,t\in T$ 且 $s\le t$ 时， $\mathscr{F}_s\subseteq\mathscr{F}_t$ , 则称 $(\mathscr{F}_t)_{t\in T}$ 是 $(\Omega,\mathscr{F},\mathrm{P})$ 上的 $\sigma$ 代数流，也可以简称“流”。称四元组 $(\Omega,\mathscr{F},(\mathscr{F}_t)_{t\in T},\mathrm{P})$ 为 $\sigma$ 代数流空间。

定义2.7(完备 $\sigma$ 代数流) 设 $(\Omega,\mathscr{F},(\mathscr{F}_t)_{t\in T},\mathrm{P})$ 为 $\sigma$ 代数流空间，若 $\mathscr{F}_0$ 包含 $\mathscr{F}$ 中的所有零测集，则称 $(\mathscr{F}_t)_{t\in T}$ 为完备 $\sigma$ 代数流，称 $(\Omega,\mathscr{F},(\mathscr{F}_t)_{t\in T},\mathrm{P})$ 为完备 $\sigma$ 代数流空间。

接下来需要考虑的问题是，给定一个流，构造新的 $\sigma$ 代数以及新的流。为讨论方便，令 $T=\mathbb{R}^+$ . 一般来说，若 $(\mathscr{F}_t)_{t\in \mathbb{R}^+}$ 是 $\sigma$ 代数流，则 $\cup_{t\in\mathbb{R}^+}\mathscr{F}_t$ 未必是 $\sigma$ 代数。一般用 $\mathscr{F}_{\infty}$ 表示包含 $\cup_{t\in \mathbb{R}^+}\mathscr{F}_t$ 的最小 \sigma 代数，即

部分文献用 $\vee_{t\in\mathbb{R}^+}\mathscr{F}_t$ 表示上一行等式的右端。

在给定 $(\mathscr{F}_t)_{t\in\mathbb{R}^+}$ 后，我们还可以定义新的流。定义

一般地， $\forall t\in \mathbb{R}^+$ 有 $\mathscr{F}_{t^-}\subseteq\mathscr{F}_{t}\subseteq\mathscr{F}_{t^+}.$ 特别地，以下三种情形

分别称 $(\mathscr{F}_t)_{t\in\mathbb{R}^+}$ 左连续、右连续、连续。显然， $(\mathscr{F}_{t^+})_{t\in\mathbb{R}^+}$ 是右连续的流。

有了上述铺垫，我们可以对 $\sigma$ 代数流提出一些限定条件。本节的最后会解释这么做的意义是什么。

定义2.8(通常条件) 若 $(\mathscr{F}_t)_{t\in\mathbb{R}^+}$ 完备且右连续，则称满足通常条件。

对于一般的流 $(\mathscr{F}_t)_{t\in\mathbb{R}^+}$ ，通过一些手段可以使它满足通常条件。记 $\mathscr{N}$ 是 $\mathscr{F}$ 中零测集全体，即

若完备性不满足，可对 $(\mathscr{F}_t)$ 进行扩充

于是 $(\bar{\mathscr{F}}_t)_{t\in\mathbb{R}^+}$ 是完备的，从而 $(\bar{\mathscr{F}}_{t^+})_{t\in\mathbb{R}^+}$ 满足通常条件。

有了前期准备，就可以讨论随机过程的可测性。在定义2.9中，只需令是 $\mathbb{R}^+$ 的子集；在定义2.10和2.11中，令 $T=\mathbb{R}^+$ .

定义2.9(适应过程) 设 $(X_t)_{t\in T}$ 是 $(\Omega,\mathscr{F},(\mathscr{F}_t)_{t\in T},\mathrm{P})$ 上的随机过程，若 $\forall t\in T$ , 随机变量 X_t 是 $\mathscr{F}_t$ 可测的，则称 $(X_t)_{t\in T}$ 是适应过程。这个适应过程可以用五元组表达

注意若 $s\le t(s,t\in T)$ , 由于 X_s 关于 $\mathscr{F}_s$ 可测，故 X_s 也必然关于 $\mathscr{F}_t$ 可测。因此，对于适应过程 $(\Omega,\mathscr{F},(\mathscr{F}_t)_{t\in T},(X_t)_{t\in T},\mathrm{P})$ , 代数流必须满足条件

称 $(\mathscr{G}_t)_{t\in T}$ 为自然流，这是使得随机过程适应的最小 $\sigma$ 代数流。

定义2.10(可测过程) 设 $(X_t)_{t\in\mathbb{R}^+}$ 是 $(\Omega,\mathscr{F},\mathrm{P})$ 上的随机过程，若二元函数

是可测的，则称 $(X_t)_{t\in\mathbb{R}^+}$ 是可测过程。其中 $\mathscr{B}(\mathbb{R}^+)$ 表示 $\mathbb{R}^+$ 的Borel代数， $\mathscr{B}(\mathbb{R}^+)\otimes\mathscr{F}$ 表示包含 $\mathscr{B}(\mathbb{R}^+)\times\mathscr{F}$ 的最小 $\sigma$ 代数。Borel代数是指由全体开集(等价地，全体闭集)生成的 $\sigma$ 代数。

不难证明可测过程还有另外一种等价定义：

定义2.10'(可测过程等价定义) 设 $(X_t)_{t\in\mathbb{R}^+}$ 是 $(\Omega,\mathscr{F},\mathrm{P})$ 上的随机过程，若 $\forall u\ge 0$ , 二元函数

是可测的，则称 $(X_t)_{t\in\mathbb{R}^+}$ 是可测过程。其中 $\mathscr{B}([0,u])$ 表示闭区间 [0,u] 的Borel代数。

定义2.11(循序过程) 设 $(X_t)_{t\in\mathbb{R}^+}$ 是 $(\Omega,\mathscr{F},(\mathscr{F}_t)_{t\in T},\mathrm{P})$ 上的随机过程，若 $\forall u\ge 0$ , 二元函数

是可测的，则称 $(X_t)_{t\in\mathbb{R}^+}$ 是循序过程。

注意，定义2.10' 和定义2.11非常像，区别在于 $\Omega$ 选取的 $\sigma$ 代数。循序过程必然是可测过程和适应过程，反过来不一定成立。但是可测且适应的过程，存在循序修正，该结论可见黄志远(2001,p.15), 但是没有给出证明。

定义2.12(循序集与循序 $\sigma$ 代数) 设 $(\Omega,\mathscr{F},(\mathscr{F}_t)_{t\in T},\mathrm{P})$ 是 $\sigma$ 代数流空间，是 $\mathbb{R}^+\times\Omega$ 的子集，若示性函数 $\mathrm{I}_A(t,\omega)$ 是循序过程，则称是循序集。循序集全体构成 $\sigma$ 代数，称其为循序 $\sigma$ 代数，记为 $\mathscr{P}$ . 由定义

不难得到循序过程的等价定义：

定义2.11'(循序过程的) 设 $(X_t)_{t\in\mathbb{R}^+}$ 是 $(\Omega,\mathscr{F},(\mathscr{F}_t)_{t\in T},\mathrm{P})$ 上的随机过程，若 $\forall u\ge 0$ , 二元函数

是可测的。

命题2.13(连续与循序的关系) 设 $X=(\Omega,\mathscr{F},(\mathscr{F}_t)_{t\in\mathbb{R}^+},(X_t)_{t\in\mathbb{R}^+},\mathrm{P})$ 是右连续的适应过程，则它是循序的。将右连续的条件换成左连续，命题同样成立。

证明：这里只证为右连续的情形。固定 , 对每个正整数以及 $t\in[0,u]$ , 定义随机变量

以及 $X_u^{(n)}=X_u$ . 因为右连续，所以对每个 $t\in[0,u]$ 以及 $\omega\in\Omega$ ,

另一方面，对任意 $A\in\mathscr{E}$ ,

属于 $\mathscr{B}([0,u])\otimes\mathscr{F}_u$ . 因此，对任意正整数 , 二元函数

可测，于是它的逐点极限也具有相同的可测性，即是循序的。证毕。 $\blacksquare$

根据，因此随机过程若干概念之间的关系总结如下(取时间域 $T=\mathbb{R}^+$ )

注记2.14(循序条件的意义) 设 $X=(\Omega,\mathscr{F},(\mathscr{F}_t)_{t\in\mathbb{R}^+},(X_t)_{t\in\mathbb{R}^+},\mathrm{P})$ 是取值于 $\mathbb{R}^n$ 的适应过程，假定对所有 $\omega\in\Omega$ , 函数 $t\mapsto X_t(\omega)$ 在任意闭区间上Lebesgue可积。考虑以下过程

那么是否为适应过程？

固定 . 若是循序过程，即二元函数

是可测的，由Fubini定理，映射

是关于 $\mathscr{F}_u$ 可测的，从而是适应过程。

注记2.15(可测条件的意义) 设 $(X_t)_{t\in\mathbb{R}^+}$ 是 $(\Omega,\mathscr{F},\mathrm{P})$ 上的随机过程， $\xi$ 是非负的随机变量，考虑函数 $\omega\mapsto X_{\xi(\omega)}(\omega)$ .