0205函数的微分

定义 设函数 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x)的某区间内有定义， x 0 及 x 0 + △ x x_0及x_0+\triangle x x0​及x0​+△x在该区间内，如果函数的增量

△ y = f ( x 0 + △ x ) − f ( x 0 ) \triangle y=f(x_0+\triangle x)-f(x_0) △y=f(x0​+△x)−f(x0​)

可表示为：

△ y = A △ x + o ( △ x ) \triangle y=A\triangle x+o(\triangle x) △y=A△x+o(△x)

其中A是不依赖于 △ x \triangle x △x的常数，那么称函数 y = f ( x ) 在点 x 0 y=f(x)在点x_0 y=f(x)在点x0​处是可微的，而 A △ x A\triangle x A△x叫做 y = f ( x ) 在点 x 0 y=f(x)在点x_0 y=f(x)在点x0​相应于自变量增量 △ x \triangle x △x的微分，记做dy,即

d y = A △ x dy=A\triangle x dy=A△x

注：

定理： f ( x ) 的点 x 0 f(x)的点x_0 f(x)的点x0​可微 ⇔ \Leftrightarrow ⇔ f ( x ) 在点 x 0 f(x)在点x_0 f(x)在点x0​可导，且 f ( x ) 在点 x 0 f(x)在点x_0 f(x)在点x0​可微时， d y = f ′ ( x 0 ) △ x dy=f^{'}(x_0)\triangle x dy=f′(x0​)△x

证明： ⇒ f ( x ) 在点 x 0 可微，则 △ y = A △ x + o ( △ x ) ，两边同除以 △ x , 得 △ y △ x = A + o ( △ x ) △ x 当 △ x → 0 时，取极限得 A = lim ⁡ △ x → 0 △ y △ x = f ′ ( x 0 ) 充分性 ⇐ f ( x ) 在点 x 0 可导，则 lim ⁡ △ x → 0 △ y △ x = f ′ ( x 0 ) 根据极限和无穷小的关系有， △ y △ x = f ′ ( x 0 ) + α ( △ x ) , 其中 α 是关于 △ x 的高阶无穷小，即 lim ⁡ △ x → 0 α = 0 两边同乘以 △ x , 得 △ y = f ′ ( x 0 ) △ x + α ( △ x ) △ x 其中 lim ⁡ △ x → 0 α ( △ x ) △ x △ x = 0 , 即它是关于 △ x 的无穷小 所有 f ( x ) 在点 x 0 可微 , 且微分 d y = f ′ ( x 0 ) 与 △ x 无关。 证明：\Rightarrow \\ f(x)在点x_0可微，则\triangle y=A\triangle x+o(\triangle x) ，两边同除以\triangle x,得 \\ \frac{\triangle y}{\triangle x}=A + \frac{o(\triangle x)}{\triangle x} \\ 当\triangle x\to0时，取极限 得 \\ A = \lim\limits_{\triangle x\to0}{\frac{\triangle y}{\triangle x}}=f^{'}(x_0) \\ 充分性\Leftarrow \\ f(x)在点x_0可导，则\lim\limits_{\triangle x\to0}{\frac{\triangle y}{\triangle x}}=f^{'}(x_0) \\ 根据极限和无穷小的关系有，{\frac{\triangle y}{\triangle x}}=f^{'}(x_0)+\alpha(\triangle x),其中\alpha是关于\triangle x的高阶无穷小，即\\ \lim\limits_{\triangle x\to0}{\alpha}=0 \\ 两边同乘以\triangle x,得 \triangle y=f^{'}(x_0)\triangle x+\alpha(\triangle x)\triangle x \\ 其中 \lim\limits_{\triangle x\to0}{\frac{\alpha(\triangle x)\triangle x}{\triangle x}}=0,即它是关于\triangle x的无穷小 \\ 所有f(x)在点x_0可微,且微分dy=f^{'}(x_0)与\triangle x无关。 证明：⇒f(x)在点x0​可微，则△y=A△x+o(△x)，两边同除以△x,得△x△y​=A+△xo(△x)​当△x→0时，取极限得A=△x→0lim​△x△y​=f′(x0​)充分性⇐f(x)在点x0​可导，则△x→0lim​△x△y​=f′(x0​)根据极限和无穷小的关系有，△x△y​=f′(x0​)+α(△x),其中α是关于△x的高阶无穷小，即△x→0lim​α=0两边同乘以△x,得△y=f′(x0​)△x+α(△x)△x其中△x→0lim​△xα(△x)△x​=0,即它是关于△x的无穷小所有f(x)在点x0​可微,且微分dy=f′(x0​)与△x无关。

注：

例1 求函数 y = x 3 当 x 0 = 2 , △ x = 0.02 y=x^3当x_0=2,\triangle x=0.02 y=x3当x0​=2,△x=0.02时的微分 d y = ( x 3 ) ′ d x = 3 x 2 d x , d y ∣ x = 2 = 3 ⋅ 2 2 ⋅ 0.02 = 0.24 dy=(x^3)^{'}dx=3x^2dx,dy|_{x=2}=3\cdot2^2\cdot0.02=0.24 dy=(x3)′dx=3x2dx,dy∣x=2​=3⋅22⋅0.02=0.24

如上图所示， △ y \triangle y △y是曲线函数 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x)上纵坐标的增量，dy就是曲线切线上点的纵坐标增量。当 △ x \triangle x △x很小时， ∣ △ y − d y ∣ |\triangle y-dy| ∣△y−dy∣比 △ x \triangle x △x小的多。因此在点M的邻近，我们可以切线段来近似代替曲线段。

在局部范围内用线性函数近似代替非线性函数，在几何上就是用切线段近似代替曲线段，这在数学上称为非线性函数的局部线性化，这是微分学的基本思想方法之一。

微分公式： d y = f ′ ( x ) d x dy=f^{'}(x)dx dy=f′(x)dx

计算函数的微分，只要计算函数的导数，在乘以自变量的微分即可。

由基本初等函数的导数公式，可以直接写出基本初等函数的微分公式，可以复习下前面的导数公式。

由函数和、差、积、商的求导法则，可推得相应的微分法则

与符合函数的求导法则相应的符合函数的微分法则可推导如下：

d y = y x ′ d x = f ′ ( u ) g ′ ( x ) d x 或者 d y = f ′ ( u ) d u dy=y^{'}_xdx=f^{'}(u)g^{'}(x)dx或者dy=f^{'}(u)du dy=yx′​dx=f′(u)g′(x)dx或者dy=f′(u)du

无论 u u u是自变量还是中间变量，微分形式 d y = f ′ ( u ) d u dy=f^{'}(u)du dy=f′(u)du保持不变。这一性质称为微分形式不变性。

例2 y = sin ⁡ ( 2 x + 1 ) , 求 d y y=\sin(2x+1),求dy y=sin(2x+1),求dy 解： d y = 2 cos ⁡ ( 2 x + 1 ) d x 解：dy=2\cos(2x+1)dx 解：dy=2cos(2x+1)dx 例3 y = ln ⁡ ( 1 + e x 2 ) , 求 d y y=\ln(1+e^{x^2}),求dy y=ln(1+ex2),求dy 解： d y = 1 1 + e x 2 ⋅ e x 2 ⋅ 2 x d x = 2 x e x 2 1 + e x 2 解：dy=\frac{1}{1+e^{x^2}}\cdot e^{x^2}\cdot2xdx=\frac{2xe^{x^2}}{1+e^{x^2}} 解：dy=1+ex21​⋅ex2⋅2xdx=1+ex22xex2​ 例4： y = e 1 − 3 x cos ⁡ x , 求 d y y=e^{1-3x}\cos x,求dy y=e1−3xcosx,求dy 解： d y = cos ⁡ x d ( e 1 − 3 x ) + e 1 − 3 x d ( cos ⁡ x ) = cos ⁡ x e 1 − 3 x ⋅ ( − 3 d x ) − e 1 − 3 x sin ⁡ x = − e 1 − 3 x ( 3 cos ⁡ x + sin ⁡ x ) d x 解：dy=\cos xd(e^{1-3x})+e^{1-3x}d(\cos x)=\cos xe^{1-3x}\cdot(-3dx)-e^{1-3x}\sin x \\ =-e^{1-3x}(3\cos x+\sin x)dx 解：dy=cosxd(e1−3x)+e1−3xd(cosx)=cosxe1−3x⋅(−3dx)−e1−3xsinx=−e1−3x(3cosx+sinx)dx

若 f ( x ) 在 x 0 f(x)在x_0 f(x)在x0​处可导（可微），且 f ′ ( x 0 ) ≠ 0 f^{'}(x_0)\not=0 f′(x0​)=0，则由微分定义

△ y = f ′ ( x 0 ) △ x + o ( △ x ) \triangle y=f^{'}(x_0)\triangle x+o(\triangle x) △y=f′(x0​)△x+o(△x)

当 ∣ △ x ∣ |\triangle x| ∣△x∣很小时， △ y ≈ f ′ ( x 0 ) △ x \triangle y\approx f^{'}(x_0)\triangle x △y≈f′(x0​)△x即

f ( x 0 + △ x ) − f ( x 0 ) ≈ f ′ ( x 0 ) △ x 或者 f ( x 0 + △ x ) ≈ f ( x 0 ) + f ′ ( x 0 ) △ x f(x_0+\triangle x)-f(x_0)\approx f^{'}(x_0)\triangle x或者f(x_0+\triangle x)\approx f(x_0)+f^{'}(x_0)\triangle x f(x0​+△x)−f(x0​)≈f′(x0​)△x或者f(x0​+△x)≈f(x0​)+f′(x0​)△x

令 x = x 0 + △ x , 带入上式，得 x=x_0+\triangle x,带入上式，得 x=x0​+△x,带入上式，得

f ( x ) ≈ f ( x 0 ) + f ′ ( x 0 ) ( x − x 0 ) f(x)\approx f(x_0)+f^{'}(x_0)(x-x_0) f(x)≈f(x0​)+f′(x0​)(x−x0​)

例7. 有一批半径为1cm的球，为了提高球面的光洁度，要镀上一层铜，厚度定位0.01cm，估计每只球用铜多少克?(注：同的密度是 8.9 g / c m 3 8.9g/cm^3 8.9g/cm3) 解：先求镀层的体积，乘以密度得到用铜的质量。 镀层的体积为两个球体体积之差， 它就是球体体积 V = 4 3 π R 3 当 R 有 R 0 取得增量 △ R 时的增量 △ V ≈ f ′ ( R ) △ R = 4 π R 2 △ R R = 1 c m , △ R = 0.01 c m , 则 △ V ≈ 0.04 π c m 3 ≈ 0.13 c m 3 用铜约为 0.13 × 8.9 ≈ 1.16 ( g ) 解：先求镀层的体积，乘以密度得到用铜的质量。 \\ 镀层的体积为两个球体体积之差， \\ 它就是球体体积V=\frac{4}{3}\pi R^3当R有R_0取得增量\triangle R时的增量 \\ \triangle V\approx f^{'}(R)\triangle R=4\pi R^2\triangle R \\ R=1cm,\triangle R=0.01cm,则 \\ \triangle V\approx 0.04\pi cm^3\approx0.13cm^3 \\ 用铜约为 0.13\times8.9\approx1.16(g) 解：先求镀层的体积，乘以密度得到用铜的质量。镀层的体积为两个球体体积之差，它就是球体体积V=34​πR3当R有R0​取得增量△R时的增量△V≈f′(R)△R=4πR2△RR=1cm,△R=0.01cm,则△V≈0.04πcm3≈0.13cm3用铜约为0.13×8.9≈1.16(g)

f ( x ) ≈ f ( x 0 ) + f ′ ( x 0 ) ( x − x 0 ) f(x)\approx f(x_0)+f^{'}(x_0)(x-x_0) f(x)≈f(x0​)+f′(x0​)(x−x0​)

取 x 0 = 0 x_0=0 x0​=0,得 f ( x ) ≈ f ( 0 ) + f ′ ( 0 ) x ， ∣ x ∣ 很小 f(x)\approx f(0)+f^{'}(0)x，|x|很小 f(x)≈f(0)+f′(0)x，∣x∣很小

(1) ( 1 + x ) α ≈ 1 + α x (1+x)^\alpha\approx1+\alpha x (1+x)α≈1+αx

(2) sin ⁡ x ≈ x \sin x\approx x sinx≈x

(3) tan ⁡ x ≈ x \tan x\approx x tanx≈x

(4) e x ≈ 1 + x e^x\approx 1+x ex≈1+x

(5) ln ⁡ ( 1 + x ) ≈ x \ln(1+x)\approx x ln(1+x)≈x

例8. 计算 1.05 \sqrt{1.05} 1.05 ​的近似值 解： 1.05 ≈ 1 + 1 2 × 0.05 = 1.025 解：\sqrt{1.05}\approx 1+\frac{1}{2}\times0.05=1.025 解：1.05 ​≈1+21​×0.05=1.025

(1)间接测试误差：根据有误差的测试数据带入公式计算而得误差

(2)绝对误差：精确值为A，测试值为a,称|A-a|为绝对误差

(3)相对误差： ∣ A − a ∣ ∣ a ∣ \frac{|A-a|}{|a|} ∣a∣∣A−a∣​

(4)绝对误差限：若 ∣ A − a ∣ ≤ δ A |A-a|\le \delta_A ∣A−a∣≤δA​,称 δ A \delta_A δA​为A的绝对误差限

(5)相对误差限： δ A ∣ a ∣ \frac{\delta_A}{|a|} ∣a∣δA​​

根据直接测量的x值，按公式 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x)计算y时，若已知测试x的绝对误差限 δ x \delta_x δx​,即 ∣ △ x ∣ ≤ δ x |\triangle x|\le \delta_x ∣△x∣≤δx​,

则y的绝对误差限 δ y = ? \delta_y=? δy​=?

y的相对误差限 δ y ∣ y ∣ = ? \frac{\delta_y}{|y|}=? ∣y∣δy​​=?

解：利用微分近似计算公式 : △ y ≈ d y = y ′ △ x δ y = ∣ △ y ∣ ≈ ∣ y ′ △ x ∣ = ∣ y ′ ∣ δ x δ y ∣ y ∣ = ∣ y ′ y ∣ δ x 解：利用微分近似计算公式:\triangle y \approx dy=y^{'}\triangle x \\ \delta_y=|\triangle y|\approx |y^{'}\triangle x|=|y^{'}|\delta_x \\ \frac{\delta_y}{|y|}=|\frac{y^{'}}{y}|\delta_x 解：利用微分近似计算公式:△y≈dy=y′△xδy​=∣△y∣≈∣y′△x∣=∣y′∣δx​∣y∣δy​​=∣yy′​∣δx​

例9 测得圆钢的直径D=60.03mm,测量D的绝对误差限 δ D = 0.05 m m \delta_D=0.05mm δD​=0.05mm，利用公式 A = π 4 D 2 A=\frac{\pi}{4}D^2 A=4π​D2计算圆钢的截面积时，试估计面积的误差。 面积绝对误差限 δ A = y ′ δ D = π 2 D ⋅ δ D = π 2 × 60.03 × 0.05 ≈ 4.712 ( m m 2 ) 面积的相对误差限 δ A ∣ A ∣ = ∣ y ′ y ∣ δ D = 2 δ D D = 2 × 0.05 60.03 ≈ 0.17 % 面积绝对误差限\delta_A=y^{'}\delta_D=\frac{\pi}{2}D\cdot\delta_D \\ =\frac{\pi}{2}\times60.03\times0.05\approx4.712(mm^2) \\ 面积的相对误差限\frac{\delta_A}{|A|}=|\frac{y^{'}}{y}|\delta_D=2\frac{\delta_D}{D} \\ =2\times\frac{0.05}{60.03}\approx0.17\% 面积绝对误差限δA​=y′δD​=2π​D⋅δD​=2π​×60.03×0.05≈4.712(mm2)面积的相对误差限∣A∣δA​​=∣yy′​∣δD​=2DδD​​=2×60.030.05​≈0.17%