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注：本专栏仅为本人复习时所写，难免有疏漏，请批判性阅读。如有错误请指出。本试卷考察的重点为线性微分方程组、高阶线性微分方程、解的存在唯一性证明（高阶情况、多变量情况）。其中计算题4题，证明题两题。计算题的设问均围绕线性微分方程组和高阶线性微分方程，需要知道解的结构以及解法。此外还需要一些首次积分的技巧，这对考生的视力有一定要求，眼瞎的考生是看不出来的。第五题是本张试卷最难的一题（个人觉得），对刘维尔定理和解的连续可微性要有深刻的理解才能做。最后一题考查了边值问题的格林函数及其应用，要对格林函数极其熟悉才行，第二问是本张试卷的一个难点。第一题，考矩阵指数的概念，要选对方法。 最简单的方法是根据定义直接算。 另外，可以将矩阵通过相似变换化为jordan标准型，但是不推荐考试中使用，因为光是化成jordan标准型计算量就很大了，不仅要算出jordan标准型，还要算相似变换的可逆矩阵。如果可对角化还好说，不能对角化的算起来难上加难，考试别为难自己了。 如果运气好，还有一种方法是把矩阵分解成单位矩阵和幂零矩阵再算。但是本题运气不好，没法这么算。 第二题，考高阶线性方程解的结构非齐次方程的解的差恰为齐次方程的解，因此这题就是送分的，甚至和f没关系。 第三题，考解方程。难点在于求特解。这里可以利用一些技巧，把解分为两个部分分开算再合起来。分开算的时候可以用丁同仁书上一个小结论，直接用待定系数法算特解。其实求特解的方法没多少，理论上大多数方程是求不出特解的。如果出了题了，一般需要靠视力（肉眼观察法），以及积累的一些技巧与结论。 第四题，还是要观察，发现首次积分，从而得解。有人费尽心思算出了齐次解，但是特解求不出来，白做。（不知道计算是否正确，如有错误可指出）主要思路就是利用首次积分消元。本题的数据是凑好的，有种为了出题而出题的感觉。 第五题，看了老半天没看懂题目。这题带给人极大的理解上的困惑，而且全都来自对符号的混淆与理解不清。首先是题目打错了，f应该是n维向量值函数；粗体X是n维向量，这里由t和n维初值向量x(小写）决定了方程的解。第一小题有点开放式，不知道怎么写。 第二小题，先转化为积分方程再对初值条件求导，再转化成一个变分方程，说明Z恰好是新的方程的基解矩阵，再利用刘维尔定理即可。 第六题，考格林函数。 这里要注意，第一问是证明u是不动点当且仅当u是的一个解，第二问是证明该不动点唯一，由此可得方程的解唯一。 对于第二问，使用了加权范数，这和证明皮卡存在唯一性定理用到的带指数的范数有异曲同工之妙。其中还用到了第一问的结论。可以说整个证明过程极为巧妙。 以上就是试题解析。 |
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