常微分方程与常微分方程组的特征值解法总结笔记

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设 n n n 次常微分方程为 x ( n ) + a 1 x ( n − 1 ) + … + a n − 1 x ′ + a n x = 0 , (1) x^{(n)}+a_1x^{(n-1)}+\ldots+a_{n-1}x^{'}+a_nx=0,\tag{1} x(n)+a1​x(n−1)+…+an−1​x′+an​x=0,(1)则其特征方程为 λ ( n ) + a 1 λ ( n − 1 ) + … + a n − 1 λ ′ + a n λ = 0 , (2) \lambda^{(n)}+a_1\lambda^{(n-1)}+\ldots+a_{n-1}\lambda^{'}+a_n\lambda=0,\tag{2} λ(n)+a1​λ(n−1)+…+an−1​λ′+an​λ=0,(2)则方程（1）的线性无关解可表示如下：

考虑如下一阶非齐次线性常微分方程组 { x 1 ′ ( t ) = a 11 ( t ) x 1 + a 12 ( t ) x 2 + … + a 1 n ( t ) x n + f 1 ( t ) x 2 ′ ( t ) = a 21 ( t ) x 1 + a 22 ( t ) x 2 + … + a 2 n ( t ) x n + f 2 ( t ) ⋮ x n ′ ( t ) = a n 1 ( t ) x 1 + a n 2 ( t ) x 2 + … + a n n ( t ) x n + f n ( t ) \begin{cases} x_1^{'}(t)=a_{11}(t)x_1+a_{12}(t)x_2+\ldots+a_{1n}(t)x_n+f_1(t)\\ x_2^{'}(t)=a_{21}(t)x_1+a_{22}(t)x_2+\ldots+a_{2n}(t)x_n+f_2(t)\\ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \quad \quad \vdots\\ x_n^{'}(t)=a_{n1}(t)x_1+a_{n2}(t)x_2+\ldots+a_{nn}(t)x_n+f_n(t)\\ \end{cases} ⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎧​x1′​(t)=a11​(t)x1​+a12​(t)x2​+…+a1n​(t)xn​+f1​(t)x2′​(t)=a21​(t)x1​+a22​(t)x2​+…+a2n​(t)xn​+f2​(t)⋮xn′​(t)=an1​(t)x1​+an2​(t)x2​+…+ann​(t)xn​+fn​(t)​写为向量形式为 x ˙ ( t ) = A ( t ) x ( t ) + f ( t ) , (3) \pmb{\dot{x}}(t)=A(t)\pmb{x}(t)+\pmb{f}(t),\tag{3} x˙x˙x˙(t)=A(t)xxx(t)+f​f​​f(t),(3)其中 x ( t ) = ( x 1 ( t ) , x 2 ( t ) , … , x n ( t ) ) T \pmb{x}(t)=(x_1(t), x_2(t), \dots, x_n(t))^T xxx(t)=(x1​(t),x2​(t),…,xn​(t))T, A ( t ) = ( a i j ( t ) ) n × n A(t)=(a_{ij}(t))_{n\times n} A(t)=(aij​(t))n×n​, f ( t ) = ( f 1 ( t ) , f 2 ( t ) , … , f n ( t ) ) T \pmb{f}(t)=(f_1(t), f_2(t), \dots, f_n(t))^T f​f​​f(t)=(f1​(t),f2​(t),…,fn​(t))T. 若 f ( t ) = 0 \pmb{f}(t)=\pmb{0} f​f​​f(t)=000, 则方程组 (3) 为齐次线性方程组。即 x ˙ ( t ) = A ( t ) x ( t ) . (4) \pmb{\dot{x}}(t)=A(t)\pmb{x}(t).\tag{4} x˙x˙x˙(t)=A(t)xxx(t).(4)定理1（解的表示） （i）若 φ ( t ) \varphi(t) φ(t), ψ ( t ) \psi(t) ψ(t) 为齐次线性方程组 (4) 的解， 则 φ ( t ) \varphi(t) φ(t), ψ ( t ) \psi(t) ψ(t)的任意线性组合 α φ ( t ) + β ψ ( t ) \alpha \varphi(t)+\beta \psi(t) αφ(t)+βψ(t) 也为齐次线性方程组 (A3) 的解， α , β \alpha, \beta α,β 为任意的常数。 （ii）若 φ ∗ ( t ) \varphi^*(t) φ∗(t) 为非齐次线性方程组 (A2) 的一个特解， ψ ( t ) \psi(t) ψ(t) 为 (4) 的一个解，则（3）的任意一个解 x ( t ) x(t) x(t) 可表示为 x ( t ) = φ ∗ ( t ) + ψ ( t ) . x(t)=\varphi^*(t)+\psi(t). x(t)=φ∗(t)+ψ(t).定理2（解的存在唯一性） 设系数矩阵函数 A ( t ) A(t) A(t) 和向量值函数 f ( t ) \pmb{f}(t) f​f​​f(t) 在定义区间 I I I 内连续， t 0 ∈ I t_0\in I t0​∈I. 则 ∀ ξ = ( ξ 1 , ξ 2 , … , ξ n ) T ∈ R n \forall \xi=(\xi_1, \xi_2,\ldots, \xi_n)^T\in R^n ∀ξ=(ξ1​,ξ2​,…,ξn​)T∈Rn, 初值问题 x ˙ ( t ) = A ( t ) x ( t ) + f ( t ) , x ( t 0 ) = ξ \pmb{\dot{x}}(t)=A(t)\pmb{x}(t)+\pmb{f}(t), x(t_0)=\xi x˙x˙x˙(t)=A(t)xxx(t)+f​f​​f(t),x(t0​)=ξ在区间 I I I 上存在唯一解。 定义 (Wronsky 行列式) 设区间 I I I 上有向量值函数 φ k ( t ) = ( φ 1 k ( t ) , φ 2 k ( t ) , … , φ n k ( t ) ) T , ( k = 1 , 2 , … , n ) \varphi_k(t)=(\varphi_{1k}(t), \varphi_{2k}(t), \ldots, \varphi_{nk}(t))^T, (k=1, 2, \ldots, n) φk​(t)=(φ1k​(t),φ2k​(t),…,φnk​(t))T,(k=1,2,…,n) 称以这些向量值函数为列的行列式 d e t ( φ 11 ( t ) φ 12 ( t ) … φ 1 n ( t ) φ 21 ( t ) φ 22 ( t ) … φ 2 n ( t ) ⋮ ⋮ … ⋮ φ n 1 ( t ) φ n 2 ( t ) … φ n n ( t ) ) det\begin{pmatrix} \varphi_{11}(t)&\varphi_{12}(t)&\ldots&\varphi_{1n}(t)\\ \varphi_{21}(t)&\varphi_{22}(t)&\ldots&\varphi_{2n}(t)\\ \vdots&\vdots&\ldots&\vdots\\ \varphi_{n1}(t)&\varphi_{n2}(t)&\ldots&\varphi_{nn}(t) \end{pmatrix} det⎝⎜⎜⎜⎛​φ11​(t)φ21​(t)⋮φn1​(t)​φ12​(t)φ22​(t)⋮φn2​(t)​…………​φ1n​(t)φ2n​(t)⋮φnn​(t)​⎠⎟⎟⎟⎞​为向量值函数 φ 1 ( t ) , φ 2 ( t ) , … , φ n ( t ) \varphi_1(t), \varphi_2(t), \ldots, \varphi_n(t) φ1​(t),φ2​(t),…,φn​(t) 的Wronsky行列式，记作 W ( t ) = W [ φ 1 ( t ) , φ 2 ( t ) , … , φ n ( t ) ] . W(t)=W[\varphi_1(t), \varphi_2(t), \ldots, \varphi_n(t)]. W(t)=W[φ1​(t),φ2​(t),…,φn​(t)].定理 若向量值函数 φ 1 ( t ) \varphi_1(t) φ1​(t), φ 2 ( t ) \varphi_2(t) φ2​(t), … \ldots …, φ n ( t ) \varphi_n(t) φn​(t) 在区间 I I I 上线性相关， 则Wronsky行列式 W [ φ 1 ( t ) , φ 2 ( t ) , … , φ n ( t ) ] = 0 , ∀ t ∈ I . W[\varphi_1(t), \varphi_2(t), \ldots, \varphi_n(t)]=0, \forall t\in I. W[φ1​(t),φ2​(t),…,φn​(t)]=0,∀t∈I. 定理 设齐次线性方程组 (A3) 有 n n n 个解 φ k ( t ) = ( φ 1 k ( t ) , φ 2 k ( t ) , … , φ n k ( t ) ) T , ( k = 1 , 2 , … , n ) \varphi_k(t)=(\varphi_{1k}(t), \varphi_{2k}(t),\ldots, \varphi_{nk}(t))^T, (k=1, 2, \ldots, n) φk​(t)=(φ1k​(t),φ2k​(t),…,φnk​(t))T,(k=1,2,…,n)则以下条件等价： （i） φ 1 ( t ) , φ 2 ( t ) , … , φ n ( t ) \varphi_1(t), \varphi_2(t), \ldots, \varphi_n(t) φ1​(t),φ2​(t),…,φn​(t) 在区间 I I I 上线性相关； （ii） W [ φ 1 ( t ) , φ 2 ( t ) , … , φ n ( t ) ] = 0 , ∀ t ∈ I . W[\varphi_1(t), \varphi_2(t), \ldots, \varphi_n(t)]=0, \forall t\in I. W[φ1​(t),φ2​(t),…,φn​(t)]=0,∀t∈I. （iii）存在 t 0 ∈ I t_0\in I t0​∈I, 使得 W [ φ 1 ( t ) , φ 2 ( t ) , … , φ n ( t 0 ) ] = 0. W[\varphi_1(t), \varphi_2(t), \ldots, \varphi_n(t_0)]=0. W[φ1​(t),φ2​(t),…,φn​(t0​)]=0. 定理 A ( t ) A(t) A(t) 为区间 I I I 上连续的 n × n n\times n n×n矩阵函数，则一阶齐次线性常微分方程组（A3）的解集合是一个 n n n 维线性空间。 定义（基本解矩阵） 齐次线性常微分方程组（4）的 n n n 个线性无关解 φ k ( t ) = ( φ 1 k ( t ) , φ 2 k ( t ) , … , φ n k ( t ) ) T , ( k = 1 , 2 , … , n ) \varphi_k(t)=(\varphi_{1k}(t), \varphi_{2k}(t),\ldots, \varphi_{nk}(t))^T, (k=1, 2, \ldots, n) φk​(t)=(φ1k​(t),φ2k​(t),…,φnk​(t))T,(k=1,2,…,n)称为(A3)的一个基本解组。称矩阵 Φ ( t ) = ( φ 11 ( t ) φ 12 ( t ) … φ 1 n ( t ) φ 21 ( t ) φ 22 ( t ) … φ 2 n ( t ) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ φ n 1 ( t ) φ n 2 ( t ) … φ n n ( t ) ) \Phi(t)= \begin{pmatrix}\varphi_{11}(t)&\varphi_{12}(t)&\ldots&\varphi_{1n}(t)\\ \varphi_{21}(t)&\varphi_{22}(t)&\ldots&\varphi_{2n}(t)\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\ \varphi_{n1}(t)&\varphi_{n2}(t)&\ldots&\varphi_{nn}(t)\\ \end{pmatrix} Φ(t)=⎝⎜⎜⎜⎛​φ11​(t)φ21​(t)⋮φn1​(t)​φ12​(t)φ22​(t)⋮φn2​(t)​……⋮…​φ1n​(t)φ2n​(t)⋮φnn​(t)​⎠⎟⎟⎟⎞​为齐次方程组 (4) 的一个基本解矩阵。 注： 已知 (4) 的一个基本解矩阵 Φ ( t ) \Phi(t) Φ(t), 则 (4) 的通解可以表示为 x ( t ) = Φ ( t ) c x(t)=\Phi(t)c x(t)=Φ(t)c. 其中 c ∈ R n c\in R^n c∈Rn 为常变量。 设常系数齐次线性方程组 x ′ = A x , (5) \pmb{x}^{'}=A\pmb{x},\tag{5} xxx′=Axxx,(5) A A A 为 n × n n\times n n×n矩阵有非平凡解形如 x ( t ) = e λ t v , x(t)=e^{\lambda t}\pmb{v}, x(t)=eλtvvv,其中 λ ∈ R \lambda\in R λ∈R, v ∈ R n \pmb{v}\in R^{n} vvv∈Rn为常向量， v ≠ 0 \pmb{v}\neq0 vvv​=0. 代入方程组(A4) 中得 λ e λ t v = A e λ t v , \lambda e^{\lambda t}\pmb{v}=Ae^{\lambda t}\pmb{v}, λeλtvvv=Aeλtvvv, 消去 e λ t e^{\lambda t} eλt 得 λ v = A v , \lambda \pmb{v}=A\pmb{v}, λvvv=Avvv,因为 v ≠ 0 \pmb{v}\neq0 vvv​=0，所以 λ \lambda λ 为矩阵 A A A 的特征值，而 v \pmb{v} vvv 为系数矩阵 A A A 的对应于特征值 λ \lambda λ 的特征向量。 定义 称 d e t ( λ I − A ) det(\lambda I-A) det(λI−A) 为方程组(5)的特征方程，它的根称为方程组的特征根。 定理（常系数齐次方程组基本解组表示） A A A 为 n × n n\times n n×n 阶矩阵，若常系数齐次方程组（5）有 n n n 个实的线性无关的特征向量 v k ( k = 1 , 2 , … , n ) v_k (k=1, 2, \ldots, n) vk​(k=1,2,…,n)，且分别对应于系数矩阵 A A A 的（不同或相同的）实特征根 λ k ( k = 1 , 2 , … , n ) \lambda_k(k=1, 2, \ldots, n) λk​(k=1,2,…,n)。则 φ k ( t ) = e λ k t v k , k = 1 , 2 , … , n , (6) \varphi_k(t)=e^{\lambda_kt}v_k, k=1, 2, \ldots, n, \tag{6} φk​(t)=eλk​tvk​,k=1,2,…,n,(6)为常系数齐次方程组（5）的一个基本解组。 注1： 设 λ \lambda λ 是系数矩阵 A A A 的 m m m 重根， 而 v k ( k = 1 , 2 , … , m ) \pmb{v}_k (k=1, 2, \ldots, m) vvvk​(k=1,2,…,m) 是与 λ \lambda λ 对应的 m m m 个线性无关的特征向量，则 e λ t v k , ( k = 1 , 2 , … , m ) e^{\lambda t}\pmb{v}_k, (k=1, 2, \ldots, m) eλtvvvk​,(k=1,2,…,m) 是方程组 (5) 的 m m m 个线性无关的解。 注2： 若 λ ± = α ± i β \lambda_{\pm}=\alpha\pm i\beta λ±​=α±iβ 是实系数矩阵 A A A 的一对共轭复根， v ± = a ± i b \pmb{v}_{\pm}=a\pm ib vvv±​=a±ib 是与之对应的特征向量（这里 a , b a,b a,b为向量）, 则 e λ + t v + = e ( α + i β ) t ( a + i b ) = e α t ( a c o s β t − b s i n β t ) + i e α t ( a s i n β t + b c o s β t ) \begin{aligned}e^{\lambda_{+}t}\pmb{v}_{+}&=e^{(\alpha+i\beta)t}(a+ib)\\&=e^{\alpha t}(acos\beta t-bsin\beta t)+ie^{\alpha t}(asin\beta t+bcos \beta t)\end{aligned} eλ+​tvvv+​​=e(α+iβ)t(a+ib)=eαt(acosβt−bsinβt)+ieαt(asinβt+bcosβt)​ e λ − t v − = e ( α + i β ) t ( a + i b ) = e α t ( a c o s β t − b s i n β t ) + i e α t ( a s i n β t + b c o s β t ) \begin{aligned}e^{\lambda_{-}t}\pmb{v}_{-}&=e^{(\alpha+i\beta)t}(a+ib)\\&=e^{\alpha t}(acos\beta t-bsin\beta t)+ie^{\alpha t}(asin\beta t+bcos \beta t)\end{aligned} eλ−​tvvv−​​=e(α+iβ)t(a+ib)=eαt(acosβt−bsinβt)+ieαt(asinβt+bcosβt)​是方程组（5）的两个线性无关的复解。