常系数非齐次线性微分方程（两种常见形式）

二阶常系数非齐次线性微分方程的一般形式是 y ′ ′ + p y ′ + q y = f ( x ) (1) y''+py'+qy=f(x) \tag{1} y′′+py′+qy=f(x)(1) 其中p，q是常数。

一般而言，二阶常系数非齐次线性微分方程的通解，归结为求对应的齐次方程。 y ′ ′ + p y ′ + q y = 0 (2) y''+py'+qy=0 \tag{2} y′′+py′+qy=0(2) 的通解和非齐次方程（1）本身的一个特解。由于二阶常系数齐次线性微分方程的通解的求法之前已得到解决，所以这里只需讨论求二阶常系数非齐次线性微分方程的一个特解 y ∗ y^* y∗的方法。

这里只讨论当方程（1）中的 f ( x ) f(x) f(x)取两种常见形式时求 y ∗ y^* y∗的方法。这种方法的特点是不用积分就可求出 y ∗ y^* y∗来，它叫做待定系数法。 f ( x ) f(x) f(x)的两种形式是

（1） f ( x ) = e λ x P m ( x ) f(x)=e^{\lambda x}P_m(x) f(x)=eλxPm​(x)，其中 λ \lambda λ是常数， P m ( x ) P_m(x) Pm​(x)是x的一个m次多项式： p m ( x ) = a 0 x m + a 1 x m − 1 + ⋅ ⋅ ⋅ + a m − 1 x + a m p_m(x)=a_0x^m+a_1x^{m-1}+···+a_{m-1}x+a_m pm​(x)=a0​xm+a1​xm−1+⋅⋅⋅+am−1​x+am​ （2） f ( x ) = e λ x [ P l ( x ) c o s   ω x + Q n ( x ) s i n   ω x ] f(x)=e^{\lambda x}[P_l(x)cos\,\omega x+Q_n(x)sin\,\omega x] f(x)=eλx[Pl​(x)cosωx+Qn​(x)sinωx]，其中 λ , ω \lambda,\omega λ,ω是常数， ω ≠ 0 , P l ( x ) 、 Q n ( x ) \omega\neq 0,P_l(x)、Q_n(x) ω​=0,Pl​(x)、Qn​(x)分别是 x x x的 l l l次、n次多项式，且仅有一个可为零。

方程（1）的特解 y ∗ y^* y∗是使（1）成为恒等式的函数。怎样的函数能使（1）成为恒等式呢？因为（1）式右端 f ( x ) f(x) f(x)是多项式 P m ( x ) P_m(x) Pm​(x)与指数函数 e λ x e^{\lambda x} eλx的乘积，而多项式与指数函数乘积的导数仍然是多项式与指数函数的乘积，因此，我们推测 y ∗ = R ( x ) e λ x y^*=R(x)e^{\lambda x} y∗=R(x)eλx（其中 R ( x ) R(x) R(x)是某个多项式）可能是方程（1）的特解。

把 y ∗ , y ∗ ′ , y ∗ ′ ′ y^*,y^*{'},y^*{''} y∗,y∗′,y∗′′代入方程（1），然后考虑能否选取适当的多项式 R ( x ) R(x) R(x)，使 y ∗ = R ( x ) e λ x y^*=R(x)e^{\lambda}x y∗=R(x)eλx满足方程（1）。为此，将 y ∗ = R ( x ) e λ x y ∗ ′ = e λ x [ λ R ( x ) + R ′ ( x ) ] y ∗ ′ ′ = e λ x [ λ 2 R ( x ) + 2 λ R ′ ( x ) + R ′ ′ ( x ) ] y^*=R(x)e^{\lambda x} \\ y^*{'}=e^{\lambda x}[\lambda R(x)+R'(x)] \\ y^*{''}=e^{\lambda x}[\lambda^2 R(x)+2\lambda R'(x)+R''(x)] y∗=R(x)eλxy∗′=eλx[λR(x)+R′(x)]y∗′′=eλx[λ2R(x)+2λR′(x)+R′′(x)] 代入方程（1）并消去 e λ x e^{\lambda x} eλx，得 R ′ ′ ( x ) + ( 2 λ + p ) R ′ ( x ) + ( λ 2 + p λ + q ) R ( x ) = P m ( x ) (3) R''(x)+(2\lambda+p)R'(x)+(\lambda^2+p\lambda+q)R(x)=P_m(x) \tag{3} R′′(x)+(2λ+p)R′(x)+(λ2+pλ+q)R(x)=Pm​(x)(3) （i）如果 λ \lambda λ不是（2）式的特征方程 r 2 + p r + q = 0 r^2+pr+q=0 r2+pr+q=0的根，即 λ 2 + p λ + q ≠ 0 \lambda^2+p\lambda+q\neq 0 λ2+pλ+q​=0，由于 P m ( x ) P_m(x) Pm​(x)是一个m次多项式，要使（3）的两端恒等，那么可令 R ( x ) R(x) R(x)为另一个m次多项式 R m ( x ) R_m(x) Rm​(x)： R m ( x ) = b 0 x m + b 1 x m − 1 + ⋅ ⋅ ⋅ + b m − 1 x + b m R_m(x)=b_0x^m+b_1x^{m-1}+···+b_{m-1}x+b_m Rm​(x)=b0​xm+b1​xm−1+⋅⋅⋅+bm−1​x+bm​ 代入（3）式，比较等式两端x同次幂的系数，就得到以 b 0 , b 1 , ⋅ ⋅ ⋅ , b m b_0,b_1,···,b_m b0​,b1​,⋅⋅⋅,bm​作为未知数的m+1个方程的联立方程组。从而可以定出这些 b i ( i = 0 , 1 , ⋅ ⋅ ⋅ , m ) b_i(i=0,1,···,m) bi​(i=0,1,⋅⋅⋅,m)，并得到所求的特解 y ∗ = R m ( x ) e λ x y^*=R_m(x)e^{\lambda x} y∗=Rm​(x)eλx。

（ii）如果 λ \lambda λ是特征方程 r 2 + p r + q = 0 r^2+pr+q=0 r2+pr+q=0的单根，即 λ 2 + p λ + q = 0 \lambda^2+p\lambda+q=0 λ2+pλ+q=0，但 2 λ + p ≠ 0 2\lambda+p\neq 0 2λ+p​=0，要使（3）的两端恒等，那么 R ′ ( x ) R'(x) R′(x)必须是m次多项式。此时可令 R ( x ) = x R m ( x ) R(x)=xR_m(x) R(x)=xRm​(x) 并且可用同样的方法来确定 R m ( x ) R_m(x) Rm​(x)的系数 b i ( i = 0 , 1 , 2 , ⋅ ⋅ ⋅ , m ) b_i(i=0,1,2,···,m) bi​(i=0,1,2,⋅⋅⋅,m)

（iii）如果 λ \lambda λ是特征方程 r 2 + p r + q = 0 r^2+pr+q=0 r2+pr+q=0的重根，即 λ 2 + p λ + q = 0 \lambda^2+p\lambda+q=0 λ2+pλ+q=0，且 2 λ + p = 0 2\lambda+p=0 2λ+p=0，要使（3）的两端恒等，那么 R ′ ′ ( x ) R''(x) R′′(x)必须是m次多项式。此时可令 R ( x ) = x 2 R m ( x ) R(x)=x^2R_m(x) R(x)=x2Rm​(x) 并用同样的方法来确定 R m ( x ) R_m(x) Rm​(x)中的系数。

综上论述，有如下结论：

如果 f ( x ) = e λ x P m ( x ) f(x)=e^{\lambda x}P_m(x) f(x)=eλxPm​(x)，那么二阶常系数非齐次线性微分方程（1）具有形如 y ∗ = x k R m ( x ) e λ x (4) y^*=x^kR_m(x)e^{\lambda x} \tag{4} y∗=xkRm​(x)eλx(4) 的特解，其中 R m ( x ) R_m(x) Rm​(x)是与 P m ( x ) P_m(x) Pm​(x)同次（m次）的多项式，而k按 λ \lambda λ不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的重根依次为0、1或2.

上式结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程，但要注意（4）式中k是特征方程含根 λ \lambda λ的重复次数（即若 λ \lambda λ不是特征方程的根，则k取为0；若 λ \lambda λ是特征方程的s重根，则k取为s）。

例1：求微分方程 y ′ ′ − 2 y ′ − 3 y = 3 x + 1 y''-2y'-3y=3x+1 y′′−2y′−3y=3x+1的一个特解。

解：这是二阶常系数非齐次性微分方程，且函数 f ( x ) f(x) f(x)是 e λ x P m ( x ) e^{\lambda x}P_m(x) eλxPm​(x)型（其中 λ = 0 , P m ( x ) = 3 x + 1 \lambda=0,P_m(x)=3x+1 λ=0,Pm​(x)=3x+1）

与所给方程对应的齐次方程为 y ′ ′ − y ′ = 3 y = 0 y''-y'=3y=0 y′′−y′=3y=0 它的特征方程为 r 2 − 2 r − 3 = 0 r^2-2r-3=0 r2−2r−3=0 由于这里 λ = 0 \lambda=0 λ=0不是特征方程的根，所以应设特解为 y ∗ = b 0 x + b 1 y^*=b_0x+b_1 y∗=b0​x+b1​ 把它代入所给方程，得 − 3 b 0 x − 2 b 0 − 3 b 1 = 3 x + 1 -3b_0x-2b_0-3b_1=3x+1 −3b0​x−2b0​−3b1​=3x+1 比较两端x同次幂的系数，得 { − 3 b 0 = 3 , − 2 b 0 − 3 b 1 = 1 \begin{cases} -3b_0=3,\\ -2b_0-3b_1=1 \end{cases} {−3b0​=3,−2b0​−3b1​=1​ 由此求得 b 0 = − 1 , b 1 = 1 3 b_0=-1,b_1=\frac{1}{3} b0​=−1,b1​=31​。于是求得一个特解为 y ∗ = − x + 1 3 y^*=-x+\frac{1}{3} y∗=−x+31​

应用欧拉公式 c o s   θ = e i θ + e − i θ 2 ,   s i n   θ = e i θ − e − i θ 2 i cos\,\theta=\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2},\, sin\,\theta=\frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i} cosθ=2eiθ+e−iθ​,sinθ=2ieiθ−e−iθ​ 把 f ( x ) f(x) f(x)表示成复变指数函数的形式，有 f ( x ) = e λ x [ P 1 c o s   w x + Q n s i n   w x ] = P ( x ) e ( λ + w i ) x + P ‾ ( x ) e ( λ − w i ) x f(x)=e^{\lambda x}[P_1cos\, wx+Q_nsin\,wx] \\ =P(x)e^{(\lambda+wi)x}+\overline P(x)e^{(\lambda-wi)x} f(x)=eλx[P1​coswx+Qn​sinwx]=P(x)e(λ+wi)x+P(x)e(λ−wi)x 其中 P ( x ) = P 1 2 − Q n 2 i , P ‾ ( x ) = P 1 2 + Q n 2 i P(x)=\frac{P_1}{2}-\frac{Q_n}{2}i,\overline P(x)=\frac{P_1}{2}+\frac{Q_n}{2}i P(x)=2P1​​−2Qn​​i,P(x)=2P1​​+2Qn​​i 是互成共轭的m次多项式（即它们对应项的系数是共轭复数），而 m = m a x [ l , n ] m=max[l,n] m=max[l,n]。

应用上一目的结果，对于 f ( x ) f(x) f(x)中的第一项 P ( x ) e ( λ + ω i ) x P(x)e^{(\lambda+\omega i)x} P(x)e(λ+ωi)x，可求出一个m次多项式 R m ( x ) R_m(x) Rm​(x)，使得 y 1 ∗ = x k R m e ( λ + ω i ) x y_1^*=x^kR_me^{(\lambda+\omega i)x} y1∗​=xkRm​e(λ+ωi)x为方程 y ′ ′ + p y ′ + q y = P ( x ) e ( λ + w i ) x y''+py'+qy=P(x)e^{(\lambda+wi)x} y′′+py′+qy=P(x)e(λ+wi)x 的特解，其中k按 λ + w i \lambda+wi λ+wi不是特征方程的根或是特征方程的单根依次取0或1.由于 f ( x ) f(x) f(x)的第二项 P ‾ ( x ) e ( λ − w i ) x \overline P(x)e^{(\lambda-wi)x} P(x)e(λ−wi)x与第一项 P ( x ) ⋅ e ( λ + w i ) x P(x)·e^{(\lambda+wi)x} P(x)⋅e(λ+wi)x成共轭，所以与 y 1 ∗ y_1^* y1∗​成共轭的函数 y 2 ∗ = x k R ‾ m e ( λ − w i ) x y_2^*=x^k\overline R_me^{(\lambda-wi)x} y2∗​=xkRm​e(λ−wi)x必然是方程 y ′ ′ + p y ′ + q y = P ‾ ( x ) e ( λ − w i ) x y''+py'+qy=\overline P(x)e^{(\lambda-wi)x} y′′+py′+qy=P(x)e(λ−wi)x 的特解，这里 R ‾ m \overline R_m Rm​表示与 R m R_m Rm​成共轭的m次多项式。于是，根据叠加原理知，方程（1）具有形如 y ∗ = x k R m e ( λ + w i ) x + x k R ‾ m e ( λ − w i ) x y^*=x^kR_me^{(\lambda+wi)x}+x^k\overline R_me^{(\lambda-wi)x} y∗=xkRm​e(λ+wi)x+xkRm​e(λ−wi)x 的特解。上式可写为 y ∗ = x k e λ x [ R m e w x i + R ‾ m e − w x i ] = x k e λ x [ R m ( c o s   w x + i s i n   w x ) + R ‾ m ( c o s   w x − i s i n   w x ) ] y^*=x^ke^{\lambda x}[R_me^{wxi}+\overline R_me^{-wxi}] \\ = x^ke^{\lambda x}[R_m(cos\,wx+isin\,wx)+\overline R_m(cos\,wx-isin\,wx)] y∗=xkeλx[Rm​ewxi+Rm​e−wxi]=xkeλx[Rm​(coswx+isinwx)+Rm​(coswx−isinwx)] 由于括号内的两项是互成共轭的，相加后既无虚部，所以可以写成实函数的形式 y ∗ = x k e λ x [ R m ( 1 ) ( x ) c o s   w x + R m ( 2 ) ( x ) s i n   w x ] y^*=x^ke^{\lambda x}[R_m^{(1)}(x)cos\,wx+R_m^{(2)}(x)sin\,wx] y∗=xkeλx[Rm(1)​(x)coswx+Rm(2)​(x)sinwx] 综上所述，有如下结论：

如果 f ( x ) = e λ x [ P 1 ( x ) c o s   w x + Q n ( x ) s i n   w x ] f(x)=e^{\lambda x}[P_1(x)cos\,wx+Q_n(x)sin\,wx] f(x)=eλx[P1​(x)coswx+Qn​(x)sinwx]，则二阶常系数非齐次线性微分方程（1）的特解可设为 y ∗ = x k e λ x [ R m ( 1 ) ( x ) c o s   w x + R m ( 2 ) ( x ) s i n   w x ] (5) y^*=x^ke^{\lambda x}[R^{(1)}_m(x)cos\,wx+R_m^{(2)}(x)sin\,wx] \tag{5} y∗=xkeλx[Rm(1)​(x)coswx+Rm(2)​(x)sinwx](5) 其中 R m ( 1 ) ( x ) 、 R m ( 2 ) ( x ) R_m^{(1)}(x)、R_m^{(2)}(x) Rm(1)​(x)、Rm(2)​(x)是m次多项式， m = m a x { l , n } m=max\{l,n\} m=max{l,n}，而k按 λ + w i \lambda+wi λ+wi（或 λ − w i \lambda-wi λ−wi）不是特征方程的根、或是特征方程的单根依次取0或1.

上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程，但要注意（5）式中的k是特征方程中含根 λ + w i \lambda+wi λ+wi（或 λ − w i \lambda-wi λ−wi）的重复次数。

例2：求微分方程 y ′ ′ + y = x c o s   2 x y''+y=xcos\,2x y′′+y=xcos2x的一个特解。

解：所给方程是二阶常系数非齐次线性方程，且 f ( x ) f(x) f(x)属于 e λ x [ P l ( x ) c o s   w x + Q n ( x ) s i n   w x ] e^{\lambda x}[P_l(x)cos\,wx+Q_n(x)sin\,wx] eλx[Pl​(x)coswx+Qn​(x)sinwx]型（其中 λ = 0 , w = 2 , P l ( x ) = x , Q n ( x ) = 0 \lambda=0,w=2,P_l(x)=x,Q_n(x)=0 λ=0,w=2,Pl​(x)=x,Qn​(x)=0）。

与所给方程对应的齐次方程为 y ′ ′ + y = 0 y''+y=0 y′′+y=0 它的特征方程为 r 2 + 1 = 0 r^2+1=0 r2+1=0 由于这里 λ + w i = 2 i \lambda+wi=2i λ+wi=2i不是特征方程的根，所以应设特解为 y ∗ = （ a x + b ） c o s   2 x + ( c x + d ) s i n   2 x y^*=（ax+b）cos\,2x+(cx+d)sin\,2x y∗=（ax+b）cos2x+(cx+d)sin2x 把它代入所给方程，得 ( − 3 a x − 3 b + 4 c ) c o s   2 x − ( 3 c x + 3 d + 4 a ) s i n   2 x = x c o s   2 x (-3ax-3b+4c)cos\,2x-(3cx+3d+4a)sin\,2x=xcos\,2x (−3ax−3b+4c)cos2x−(3cx+3d+4a)sin2x=xcos2x 比较两端同类项的系数，得 { − 3 a = 1 , − 3 b + 4 c = 0 , − 3 c = 0 , − 3 d − 4 a = 0 \begin{cases} -3a=1,\\ -3b+4c=0,\\ -3c=0,\\ -3d-4a=0 \end{cases} ⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧​−3a=1,−3b+4c=0,−3c=0,−3d−4a=0​ 由此解得 a = 1 3 , b = 0 , c = 0 , d = 4 9 a=\frac{1}{3},b=0,c=0,d=\frac{4}{9} a=31​,b=0,c=0,d=94​ 于是求得一个特解为 y ∗ = − 1 3 x c o s   2 x + 4 9 s i n   2 x y^*=-\frac{1}{3}xcos\,2x+\frac{4}{9}sin\,2x y∗=−31​xcos2x+94​sin2x