第八节、常系数齐次线性微分方程

教学目的：掌握二阶常系数齐次线性微分方程的特征方程，特征根，及对应于特征根的三种情况，通解的三种不同形式。

教学重点：特征方程，特征根，及对应于特征根的三种情况，通解的三种不同形式。

教学难点：根据特征根的三种不同情况，得到三种不同形式的通解。

教学内容：

若                                       （2）  

其中为常数，称之为二阶常系数齐次微分方程，

若不全为常数(2)称之为二阶变系数齐次微分方程。

记：   （3）

将代入（3）中有，称为（3）的特征方程。

设为（4）的解。

（1）当即时，为其通解。

（2）当即时，（3）只有一个解。

（3）当即时，有是解。

利用欧拉公式可得实解，故通解为

。

求二阶常系数齐次线性微分方程

                                                       （2）

的通解的步骤如下：

1．  写出微分方程（2）的特征方程

                                                        （3）

2．  求出特征方程（3）的两个根、。

3．  根据特征方程（3）的两个根的不同情形，按照下列表格写出微分方程（2）的通解：

特征方程的两个跟

微分方程的通解

两个不相等的实根

两个相等的实根

一对共轭复根

例1 求微分方程的通解。

解 所给微分方程的特征方程为

其根是两个不相等的实根，因此所求通解为

例2 求方程满足初始条件，的特解。

解 所给方程的特征方程为

其根是两个相等的实根，因此所求微分方程的通解为

  将条件代入通解，得，从而

将上式对求导，得

再把条件代入上式，得。于是所求特解为

例3 求微分方程的通解。

解 所给微分方程的特征方程为

其根为一对共轭复根，因此所求通解为

例4 在第八节例1中，设物体只受弹性恢复力的作用，且在初瞬时的位置为，初始速度为。求反映物体运动规律的函数。

解  由于不计阻力，即假设，所以第八节中的方程（1）成为

                                         （4）

方程（4）叫做无阻尼自由振动的微分方程。

    反映物体运动规律的函数是满足微分方程（4）及初始条件的特解。

方程（4）的特征方程为，其根是一对共轭复根，所以方程（4）的通解为    

。

应用初始条件，定出。因此，所求的特解为

。                           （5）

为了便于说明特解所反映的振动现象，我们令

于是（5）式成为

，                           （6）

其中                 。

函数（6）的图形如图12-14所示（图中假定）。

函数（6）所反映的运动就是简谐振动。这个振动的振幅为，初相为，周期为，角频率为，由于（见第八节例1），它与初始条件无关，而完全由振动系统（在本例中就是弹簧和物体所组成的系统）本身所确定。因此，又叫做系统的固有频率。固有频率是反映是振动系统特性的一个重要参数。

       上面结果可扩展到阶常系数微分方程。

       例  求 。

通解为 。

小结：本节讲述了二阶常系数齐次线性微分方程的特征方程，特征根，及当

特征根形式不同时，通解具有不同形式。