二阶常系数齐次线性微分方程的特征方程的由来及求解

    对于二阶常系数齐次线性微分方程y''+py'+qy=0来说，如果一个函数y=f(x)是该方程的解，则该函数需要满足y'',y',y之间只差系数的关系。能够满足这种条件的函数只有指数函数

那么我们将指数函数求其一阶导数y'、二阶导数y''，并将y'',y',y代入原方程，化简后可得，

因为

所以

这个一元二次方程就是二阶常系数齐次线性微分方程的特征方程。

       这个特征方程与一元二次方程一样，可以利用求根公式

来求解，其中如果

得到两个相异实根

如果

得到两个相等实根

如果

得到一对共轭复根

其中令

化简方程的根为

其中α为实部，β为虚部。