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首先,我们先来看看这个数的倒数: ·倒数 其实矩阵的逆矩阵也跟倒数的性质一样,不过只是我们习惯用A-1表示: 问题来了,既然是和倒数的性质类似,那为什么不能写成1/A? 其实原因很简单,主要是因为矩阵不能被除。不过 1/8倒可以被写成 8-1。 那矩阵的逆和倒数还有其他相似之处吗? 当我们将一个数乘以它的倒数我们得到1。8 × (1/8) = 1 当一个矩阵乘以逆时,我们得到了单位矩阵(而单位矩阵,其实也就是矩阵中的“1”)。A × A-1 = I 而此时我们将矩阵的逆放在前面,很明显,结果还是一样的(1/8) × 8 = 1 A-1 × A = I 模友:超模君,刚才讲的“单位矩阵”是什么意思,你还没说明呢 超模君:别急,慢慢来!关于单位矩阵,其实就是一个相当于数字“1”的矩阵: ·3x3的单位矩阵 那怎样的矩阵才是单位矩阵呢? ①它是“正方形”(行数与列数相同); ②它的对角线上的数字都是1,其他地方都是0。 那问题来了,我们该如何去计算矩阵的逆呢?换句话说:交换a和d的位置,将负数置于b和c的前面,并将所有事物除以行列式(ad-bc) 举个栗子: 不过该如何去判断这是正确的答案呢? 那这个时候就要用到我们最开始讲的公式: A × A-1 = I 所以,让我们检查一下,当我们将矩阵乘以矩阵的逆时,会是怎样的? 嘿嘿嘿嘿!我们最终得到了单位矩阵! 留个作业:试试这样,能不能得到单位矩阵呢? 其实,在了解矩阵的过程中,总是会有个疑问:为什么我们需要矩阵的逆呢? 其主要原因是:矩阵没办法被除。(这个时间各位模友可以回想一下:是不是从来都没看过矩阵被除) 换句话说,矩阵根本就没有被除的概念。 而矩阵的逆,正好是被我们用来解决“矩阵除法”的问题。 各位模友,假如我们没有“除法”这个规则,那当有人问你“如何把10分苹果平分给两个人”。 想到怎么解答没? 那我们是不是可以采取2的倒数(1/2=0.5)来计算,那答案就很清晰啦: 10 × 0.5 = 5 也就是每个人5个苹果。 那我们是不是也可以将同样的方法应用到矩阵上呢? 那故事就这么开始了,我们知道矩阵A和矩阵B,并且想要找到矩阵X。 XA = B 那最好的方法就是直接除以A(得到X = B / A),但事实上我们不能直接除以矩阵A。 但是我们却可以在公式两边都乘以A-1: XAA-1= BA-1 因为我们都知道AA-1=I,所以也就能得到 XI = BA-1 而此时单位矩阵I我们是可以直接去掉的,也就能得到: X = BA-1 所以呢,此时我们只要知道怎么计算A-1,那就可以直接算出矩阵X(而对于计算A-1早已解决)。 丢个栗子: 有一个几个家庭组团出去旅行,出发的时候是乘坐大巴,每位儿童3元,每个大人3.2元,一共花费了118.4元。 在回程时,他们选择乘坐火车,每名儿童3.5元,每名成人3.6元,总计135.20元。 那问题来了,这里边有多少个小孩和大人呢? 虽然这道题用线性方程组来解很简单,但这次我们尝试用矩阵思维来解答。 首先,我们设置好矩阵(此时要注意好矩阵的行和列是否正确): 那我们根据公式: XA = B 要解决这个问题,那也就是得到矩阵A的倒数: 现在我们可以使用以下方法来解决: X = BA-1 结果很明显,一共有16个孩子和22个大人! 那问题来了,矩阵的逆到底有什么用?事实上,像这样的计算其实非常有利于工程师设计建筑物,视频游戏和计算机动画等许多地方。 此外,它也是解决线性方程组的一种方法。 虽然求矩阵的逆,只要打开MATLAB, 输入inv(A)。 但超模君这里就要插一句话: 虽然这个过程是由计算机完成,但我们还是有必要去了解公式,因为这正是数学的美妙之处! |
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