Newton迭代法的改进

Newton法的收敛性与初值 x 0 x_0 x0​的选取由很大关系，如果 x 0 x_0 x0​偏离方程的根 x ∗ x^* x∗太远，则Newton法可能发散或迭代次数增加，因此，有必要对迭代法加以改进。

例1：用Newton法求 x 3 − x − 1 = 0 x^3-x-1=0 x3−x−1=0在 x 0 = 1.5 x_0=1.5 x0​=1.5附近的一个根。

解：原方程的Newton迭代格式为 x k + 1 = x k − x k 2 − x − 1 2 x k 2 − 1 x_{k+1}=x_k-\frac{x_k^2-x-1}{2x_k^2-1} xk+1​=xk​−2xk2​−1xk2​−x−1​，迭代结果为 x 3 = 1.32472 x_3=1.32472 x3​=1.32472。如果迭代初值取为 x 0 = 0.6 x_0=0.6 x0​=0.6，则迭代一次所得结果 x 1 = 17.9 x_1=17.9 x1​=17.9就大大远离了 x ∗ x^* x∗。因此，迭代过程可能是发散的或迭代次数增加。

为了避免迭代过程出现发散或迭代次数增加，可对迭代过程再附加如下一个条件： ∣ f ( x k + 1 ) ∣ < ∣ f ( x k ) ∣ (1) |f(x_{k+1})|