控制教程

在本教程中，我们将介绍根轨迹，展示如何使用MATLAB来创建根轨迹，并演示如何通过使用根轨迹来设计满足某些性能指标的反馈控制器。 本教程中使用的主要MATLAB命令包括：

开环传递函数 H ( s ) H(s) H(s) 的根轨迹通常是在比例增益 K K K 在0到 ∞ \infty ∞ 变化时，形成的闭环极点的轨迹曲线。下图显示了单位反馈架构，对于任何开环传递函数 H ( s ) H(s) H(s) ，即使开环传递函数的某些元素在反馈路径中，根轨迹的过程也都是相同的。 在这种情况下，闭环传递函数为：

Y ( s ) R ( s ) = K H ( s ) 1 + K H ( s ) \frac{Y(s)}{R(s)} = \frac{KH(s)}{1 + KH(s)} R(s)Y(s)​=1+KH(s)KH(s)​ 因此，闭环系统的极点是 s s s 的值，使得 1 + K H ( s ) = 0 1+KH(s)=0 1+KH(s)=0 如果我们写 H ( s ) = b ( s ) / a ( s ) H(s)=b(s)/a(s) H(s)=b(s)/a(s) ，则该等式可以重写为： ⇒   a ( s ) + K b ( s ) = 0 \Rightarrow\ a(s) + Kb(s) = 0 ⇒ a(s)+Kb(s)=0 ⇒   a ( s ) K + b ( s ) = 0 \Rightarrow\ \frac{a(s)}{K} + b(s) = 0 ⇒ Ka(s)​+b(s)=0 假设 n n n 是 a ( s ) a(s) a(s) 的阶数， m m m 是 b ( s ) b(s) b(s) 的阶数(多项式的阶数对应于 s s s 的最高次幂)。 我们将考虑 K K K 的所有正值。在 K → 0 K\rightarrow 0 K→0的极限中，闭环系统的极点是 a ( s ) = 0 a(s)=0 a(s)=0 的解( H ( s ) H(s) H(s) 的极点)。在 K → ∞ K\rightarrow \infty K→∞ 的极限中，闭环系统的极点是 b ( s ) = 0 b(s) = 0 b(s)=0 ( H ( s ) H(s) H(s)的零点)的解。 无论我们选择 K K K，闭环系统都有 n n n 个极点，其中 n n n 是开环传递函数 H ( s ) H(s) H(s) 的极点数。然后，根轨迹具有 n n n个分支，每个分支都从 H ( s ) H(s) H(s) 的极点开始，并接近 H ( s ) H(s) H(s) 的零点。如果 H ( s ) H(s) H(s) 的极点多于零点（通常都是这样），即 m < n mMp= e^{\left( \frac{-\zeta\pi}{\sqrt{1-\zeta^2}} \right)} 0.05>Mp=e(1−ζ2 ​−ζπ​) ⇒ ζ > 0.6906 \Rightarrow \zeta>0.6906 ⇒ζ>0.6906 ②： 1 > T r ≈ 1.8 ω n 1>T_r \approx \frac{1.8}{\omega_n} 1>Tr​≈ωn​1.8​ ⇒ ω n > 1.8 \Rightarrow \omega_n>1.8 ⇒ωn​>1.8

在上面的图中，两条呈45°角的虚线表示极点位置，其中 ζ = 0.7 \zeta =0.7 ζ=0.7； 在这些线之间 ζ > 0.7 \zeta>0.7 ζ>0.7，而在这些线之外 ζ < 0.7 \zeta