概率论与随机过程论

概率论与随机过程论

・概率统 计系教授  钱敏平

随机现象与随机因素在自然界几乎无所不在。把随机因素考虑进去的系统就是随机系统。在静态下描写随机系统的量是随机变量，它是概率论研究的最基本的出发点。随时间动态地发展的随机系统由随机过程所描述。概率论与随机过程的模型、理论与方法是工程技术、经济管理、生态平衡、生命科学、保险数学、人工智能与电脑、统计物理、高分子化学，以至人文科学等广阔领域中研究问题中不可缺少的工具。同时也对其它数学领域等提供了新的研究角度与途径，甚至结合起来形成了边缘方向，以下我们较为具体地概括某些应用方面：

对脑及神经系统的研究与模拟中，随机过程就起了很关键的作用。人脑是由1011个神经元组成的、大约含有1015个相互联结的高度复杂的体系，神经元的激发与否往往具有不可忽视的随机性，或者说是不确定性。这样复杂的大规模系统是怎样相互协调地工作的呢?应该如何认识它们工作的机制与原理呢?概率与随机过程论就能为逐步地了解、认识这些，并为表达这些认识提供了重要的方法、工具、模型与指导原则

近年来计算机技术突飞猛进，然而计算机本质上只会作逻辑与四则运算，如果没有很好的模型与算法，即使有高效的大规模计算机，也仍旧很难得到预期的结果。对于大规模复杂系统更需要方法上的革新。有许多问题在小系统中很容易解决。但是，当系统规模很大时，如果仍采用那些在小系统中习惯用的方法就可能使所需的计算时间以年为计，甚至几十年，还甚至几代人也完不成这种计算，这就是所谓的组合大爆炸问题。针对这类问题，人们提出模仿生物界进化、遗传、变异、竞争等手段，在解决定性问题时，人为地引入随机因素，从概率论的角度提供对于所要计算的问题的较为切合实际，又不失为满意的解答。这就是近年来受到广泛重视的智能计算。

再如通讯网络的经济而有效的设计，核子反应的描述，生态平衡与遗传，高分子的空间形态与缠结等构像与结晶，物理、化学中的平衡态，DNA的密码揭示与表达等高科技领域中，概率论与随机过程都是有力的工具。

近年来在经济领域中，股票与有价证券、期货与期权，其价格的涨落的预测分析。人口的预测与控制，环境科学等诸多领域也纷纷利用概率论与随机过程的方法与理论，探求并获得其统计规律性与倾向性走势。

另一方面，随机方法对确定性的数学也能提供新方法、新认识。随机逼近方法已为优化计算，甚至为偏微分方程的计算格式作出了贡献。微分方程解的概率表示也为近似计算开辟了新的有效途径，这就是蒙特卡洛方法。经过随机干扰的系统看来更切合自然界的实际状况，因而能比未受干扰的系统更易于具有对参数扰动不敏感的所谓结构稳定性。随机过程在一定程度上也能刻划状态所在空间的“弯曲”程度。这就是随机方法与几何的结合。

总之，概率论与随机过程既是一个理论研究课题，又有广泛应用的、充满活力的学科领域，它也在不断地更新、发展、成长、壮大。

（原文刊登在北京大学校刊第714期第三版，1995年9月15日）