两直线角平分线的推导

        我们知道关于某直线对称的两直线斜率的关系：考虑一直线，其斜率为k，关于其对称的两直线斜率分别为a,b 则可以推得：

        在此式中，特别地，当k＝0，可以得到a＝-b，也就是大家熟知的k1+k2＝0，其中k不存在的情形可旋转坐标系同理推得。

        那么，已知两直线斜率a,b 可否推得k呢？

        第一种方法是狠狠硬算，在其中尝试解k，则：

        其中，k出现的两个值对应两直线所成的两个角的角平分线斜率。这种计算除了各位计算器以外极其容易出错，我们有必要探讨更为直观的方法。

        接下来由简单的情形开始推导

考虑l1：y＝ax  l2：y＝bx

注意到角平分线涉及几何，引入工具向量可很好的沟通数与形

引入直线l1的一个方向向量

为了直观的突显斜率，我们将其记为v=(1,a)

同理直线l2的一个方向向量u＝(1,b)

那么问题即是求这两条直线的一个角平分线的方向向量

注意uv直接相加不会得到角平分线方向向量（平行四边形的对角线不一定平分对角），那么我们考虑利用等腰三角形的三线合一性质，使u,v模相同从而得出角平分线方向向量

将u的模放缩至与v的模相同，则有

其中u1和u共线同向

这样就可以求出

这就是说，角平分线（其中一条）的斜率就是如图向量w的纵坐标。注意到另一个角的角平分线与其垂直，则其斜率相乘＝-1

可以推出另一个角的角平分线的斜率为：

至此，对于两条斜率存在的直线，问题解决。

接下来我们通过斜率的关系推导角平分线的方程。

        对于形如y＝kx+b的直线，只需先求出两直线交点，根据上述方法得到角平分线的斜率，再求利用点斜式写出方程即可，此处不再赘述。

        对于一般直线Ax+By+C＝0 借由相应的方向向量（如(B,-A)）和两直线交点 可以推得角平分线方程，过程如下（其中的同向是指其中一个角的角平分线）：

        可见结果有《一点点》复杂，所以求角平分线咱们分类讨论就行了。这里谨说明一般式的思想。

ps：有趣的是，此一般式存在规律！

其中，常数项分子其实就是两直线的参数ABCDEF中选取三项，且ABC和DEF两组各至少有一项的样本空间，而对于两个公因式根号√a方+b方 和√d方+e方 的系数有以下规律存在：

        我们可以看到，图中的箭头形状对称，它们的系数相同且符号相反，像是共轭的两个组，而此角平分线方程常数项的分母是一个abde的二阶行列式，且它们都是原两条直线的系数。

        对于此角平分线方程一次项的系数来说，每一项都至少含有两条原直线中的一个系数字母，并且这恰好说明了斜率是与常数项无关的。

        至此我们可以给出对于斜率存在的两直线的一般结论：

        对于斜率存在的两直线，记它们的斜率分别为a，b，方向向量为u，v，那么它们角平分线的斜率为：

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初次投稿，经验浅薄

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