详解图论算法图的宽度优先遍历图的深度优先遍历图的拓扑排序算法 kruskal算法 prim算法 Dijkstra算法

2023-06-15 10:08| 来源: 网络整理| 查看: 265

图的基础类：Graph类：

Node结点类：

Edge边类：

（1）邻接表：

（2）邻接矩阵：

用数组表示图：

二维矩阵;

由于图论算法，可以用多种图结构方法表示，所以我们可以做一个转换函数，把题中的图结构转化为自己的图结构，然后用自己已经写好的算法得出结果

将二维矩阵转为邻接链表算法：

kruskal算法查找最小生成树的方法是：将连通网中所有的边按照权值大小做升序排序，从权值最小的边开始选择，只要此边不和已选择的边一起构成环路，就可以选择它组成最小生成树。对于 N 个顶点的连通网，挑选出 N-1 条符合条件的边，这些边组成的生成树就是最小生成树。

最小生成树

图的基础类：Graph类： import java.util.HashMap; import java.util.HashSet; import java.util.LinkedHashMap; /** * @ProjectName: study3 * @FileName: Graph * @author:HWJ * @Data: 2023/6/7 15:18 */ public class Graph { public HashMap nodes; // Integer编号 Node 实际的结点存放这个图里所有的结点 public HashSet edges; //存放这个图里的所有边 public Graph() { this.nodes = new LinkedHashMap(); this.edges = new HashSet(); } } Node结点类： import java.util.ArrayList; /** * @ProjectName: study3 * @FileName: Node * @author:HWJ * @Data: 2023/6/7 15:21 */ public class Node { public V value; //这个结点的值 public int in; // 进入边的个数入度 public int out; //出去边的个数出度 public ArrayList nexts; //此结点的直接相邻的结点 public ArrayList edges; //他与直接相邻结点的边 public Node(V value) { this.value = value; this.in = 0; this.out = 0; this.nexts = new ArrayList(); this.edges = new ArrayList(); } @Override public String toString() { return "Node{" + "value=" + value + ", in=" + in + ", out=" + out + ", nexts=" + nexts + ", edges=" + edges + '}'; } } Edge边类： /** * @ProjectName: study3 * @FileName: Edge * @author:HWJ * @Data: 2023/6/7 15:27 */ public class Edge {//有向边 public int weight; //边的权重 public Node to; //边的终点 public Node from; //边的起点 public Edge(int weight, Node from, Node to) { this.weight = weight; this.to = to; this.from = from; } }

（1）邻接表：

（2）邻接矩阵：

用数组表示图：

数组arr[0] = 5 表示0这个结点指向5这个结点，但是这种表示方式，不能表示所有的图论模型

二维矩阵;

[3,0,2] 表示0结点指向2结点，边长度为3；

由于图论算法，可以用多种图结构方法表示，所以我们可以做一个转换函数，把题中的图结构转化为自己的图结构，然后用自己已经写好的算法得出结果将二维矩阵转为邻接链表算法： // matrix 所有的边 // N*3的矩阵 // [weight, from, to] public static Graph createGraph(Integer[][] matrix) { //将二维矩阵的图转化为邻接矩阵格式的图 Graph graph = new Graph(); for (int i = 0; i < matrix.length; i++) { Integer from = matrix[i][1]; Integer to = matrix[i][2]; Integer weight = matrix[i][0]; if (!graph.nodes.containsKey(from)) { graph.nodes.put(from, new Node(from)); //判断图是否有这个结点，没有就加入 } if (!graph.nodes.containsKey(to)) { graph.nodes.put(to, new Node(to)); } Node fromNode = graph.nodes.get(from); Node toNode = graph.nodes.get(to); Edge edge = new Edge(weight, fromNode, toNode); //构建有向边 fromNode.nexts.add(toNode); // 将这个结点的下一个结点加入 fromNode.out++; //出数++ toNode.in++; //入数++ graph.edges.add(edge); //图论的edges加入这个边 fromNode.edges.add(edge); //这个结点，加入这个边 } return graph; } 图的宽度优先遍历和广度优先遍历算法：

public static void bfs(Node head) { // 对一个图进行深度优先遍历 // 这里的哈希表可以改为数组结构，这样可以节约常数时间 // 这样的改法适用于题目明确指出了（图论结点个数的范围不会超过某个常数值) 且他的value值为某个基础类型 if (head == null) { return; } LinkedList nodes = new LinkedList(); // 进行深度优先遍历一定要用队列，先进入的先弹出 HashSet set = new HashSet(); //创建一个hashset，防止进入环中就一直循环加入已经加过的结点 // int[] set = new int[N]; 这里的表示那个最大常数值 nodes.add(head); set.add(head); while (!nodes.isEmpty()) { // nodes不为空进入循环 Node node = nodes.pop(); System.out.println(node); //打印结点，可以根据题目定制处理 for (Node n : node.nexts) { // 循环当前结点的所有邻近结点 if (!set.contains(n)) { //如果还没处理过此节点，就加入结点 set.add(n); nodes.add(n); } // if (set[n.value] == 0){ // set[n.value] = 1; // nodes.add(n); // } } } } public static void dfs(Node head) { // 看不懂就用纸和debug结合来研究 if (head == null) { return; } Stack nodes = new Stack(); HashSet set = new HashSet(); nodes.add(head); set.add(head); System.out.println(head); while (!nodes.isEmpty()) { Node node = nodes.pop(); System.out.println(node); //打印结点，可以根据题目定制处理 for (Node n : node.nexts) { // 循环当前结点的所有邻近结点 if (!set.contains(n)) { //如果还没处理过此节点，就加入结点 nodes.push(node); //将其重新压入栈内 nodes.push(n); //将其压入栈内 set.add(n); System.out.println(n); //打印结点，可以根据题目定制处理 break; //省略当前结点的其他邻近结点 } } } } 拓扑排序算法：

//有向图的无环拓扑排序 public static List sortedTopology(Graph graph){ LinkedList nodes = new LinkedList(); // 将所有入度为0的结点加入队列，弹出时再加入结果队列 HashMap nodeIntegerHashMap = new HashMap(); // 用来存放结点和入度的关系 for (Node node:graph.nodes.values()) { nodeIntegerHashMap.put(node, node.in); if (node.in == 0){ nodes.add(node); } } LinkedList result = new LinkedList(); while (!nodes.isEmpty()){ Node node = nodes.pop(); // 弹出已知入度为0的结点，然后将其与其他结点的关系删除 result.add(node); // 将这个结点加入结果列表中 for (Node n : node.nexts) { nodeIntegerHashMap.put(n, nodeIntegerHashMap.get(n)-1); if (nodeIntegerHashMap.get(n) == 0){ // 如果关系删除后，入度为0了就加入此节点 nodes.add(n); } } } return result; } kruskal算法：

算法实现：如果不形成环的边就加入此边，开始时，将所有结点独立生成一个集合，然后选择权值小的边，看to和from结点是否在一个集合，不在一个集合就合并且保留这个边，如果在一个集合就不要此边

最小生成树

所谓一个带权图的最小生成树，就是原图中边的权值最小的生成树，所谓最小是指边的权值之和小于或者等于其它生成树的边的权值之和。

构建的Mysets类

public class MySets { public HashMap setMap; public MySets(List nodes){ for (Node node : nodes) { List set = new ArrayList(); set.add(node); setMap.put(node, set); } } public boolean isSameSet(Node from, Node to){ List fromSet = setMap.get(from); List toSet = setMap.get(to); return fromSet == toSet; } public void union(Node from, Node to){ List fromSet = setMap.get(from); List toSet = setMap.get(to); for (Node node : toSet) { // 将toSet集合里面的所有结点加入fromSet，并将结点指向fromSet fromSet.add(node); setMap.put(node, fromSet); } } }

kruskal算法：

public static Set kruskalMST(Graph graph){ MySets integerMySets = new MySets(new ArrayList(graph.nodes.values())); // 传入一个比较器，使权值较小的边排在前边，完成小根堆 PriorityQueue queue = new PriorityQueue(new Comparator() { @Override public int compare(Edge o1, Edge o2) { return o1.weight - o2.weight; } }); //在小根堆里加入所有边 queue.addAll(graph.edges); Set result = new HashSet(); while (!queue.isEmpty()){ //取出权值最小的边 Edge edge = queue.poll(); // 判断fromNode 和 toNode 结点是否在同一个集合 if (!integerMySets.isSameSet(edge.from, edge.to)){ // 如果不在同一个集合 // 加入这条边 result.add(edge); // 并将这两个集合合并 integerMySets.union(edge.from, edge.to); } } return result; } prim算法：

Prim算法是一种基于贪心策略的最小生成树算法，主要用于解决无向图的最小生成树问题，即在一个联通的加权无向图中找到一棵生成树，使得树上所有边的权值之和最小。

算法流程：

选定任意一个起始节点，将其加入集合S中。从S中的所有节点出发，选择一条连接到未加入S中的节点的最小边，并将其加入生成树中。将该节点加入集合S中，重复执行步骤2，直到集合S中包含所有节点。 public static Set primMST(Graph graph){ // 将解锁结点的所有边加入小根堆 PriorityQueue queue = new PriorityQueue(new Comparator() { @Override public int compare(Edge o1, Edge o2) { return o1.weight - o2.weight; } }); // HashSet set = new HashSet(); // 每次挑选的边都放入result中 HashSet result = new HashSet(); for (Node node : graph.nodes.values()) { // 随机选取某个结点 // 具有处理深林的能力 if (!set.contains(node)){ // 如果不存在这个结点就加入，并解锁他的所有边 set.add(node); queue.addAll(node.edges); while (!queue.isEmpty()){ // 取出最小的边，参看他的终点我们是否参看过，没有就加入并解锁他的所有边 Edge edge = queue.poll(); if (!set.contains(edge.to)){ result.add(edge); set.add(edge.to); queue.addAll(edge.to.edges); } } } } return result; }

Dijkstra算法：

Dijkstra算法是一种解决单源最短路径问题的贪心算法。

该算法的基本原理是：从源节点开始，每次选择距离源节点最近的一个节点，然后以该节点为中心进行扩展，最终得到源节点到其他所有节点的最短路径。

具体实现步骤如下：

创建一个集合S，用来存储已经确定最短路径的节点。初始化距离数组dist，表示源节点到其他节点的距离，将源节点的距离设置为0，其他节点的距离设置为无穷大。从dist数组中选取距离源节点最近的一个节点V，并将其加入到集合S中。对于节点V的所有邻居节点W，如果源节点到W的距离大于源节点到V再加上V到W的距离，就更新dist数组中W的距离。重复步骤3和步骤4，直到集合S包含了所有节点。

最终得到的dist数组就是源节点到其他所有节点的最短路径长度。同时，可以通过记录每个节点的前驱节点，来还原出最短路径。

Dijkstra算法未优化版本： public static HashMap dijkstra1(Node head){ // 从头结点出发到其余所有结点的最小距离 // key：头结点到所有结点 // value：头结点到所有结点的最短距离 HashMap distances = new HashMap(); distances.put(head, 0); // 如果在表中没有这条记录，就默认头结点到他的距离为无穷大 HashSet selectNodes = new HashSet(); // 这里一定返回头结点，这里返回离头结点最近的结点，返回的结点不在已经锁存的结点内 Node cur = getMinDistanceAndUnselectedNode(distances, selectNodes); while (cur != null){ int distance = distances.get(cur); //得到离原点的距离 for (Edge edge: cur.edges) { //遍历这个结点的所有边 Node toNode = edge.to; if (!distances.containsKey(toNode)){ //如果这个结点还没到达过就直接添加这个结点和他的距离 distances.put(toNode, distance + edge.weight); } // 否则更新最短距离 distances.put(toNode, Math.min(distances.get(toNode), distance + edge.weight)); } // 运行后将这个结点锁存 selectNodes.add(cur); cur = getMinDistanceAndUnselectedNode(distances, selectNodes); } return distances; } public static Node getMinDistanceAndUnselectedNode( HashMap distances, HashSet selectNodes){ Node minNode = null; int minDistance = Integer.MAX_VALUE; for (Map.Entry entry : distances.entrySet()) { Node node = entry.getKey(); int distance = entry.getValue(); if (!selectNodes.contains(node) && distance < minDistance){ // 要求他不是已经锁存的结点且distance较小 minNode = node; minDistance = distance; } } return minNode; } } Dijkstra算法优化版本： import java.util.HashMap; /** * @ProjectName: study3 * @FileName: OptimizeDijkstra * @author:HWJ * @Data: 2023/6/11 22:45 * Dijkstra算法的优化 */ public class OptimizeDijkstra { public static void main(String[] args) { } public static class MyRecord { public Node node; // 数组不能使用泛型 public int distance; public MyRecord(Node node, int distance) { this.node = node; this.distance = distance; } } public static class NodeHeap { public Node[] nodes; public HashMap heapIndexMap; public HashMap distanceMap; public int size; public NodeHeap(int size) { this.nodes = new Node[size]; this.heapIndexMap = new HashMap(); this.distanceMap = new HashMap(); this.size = 0; } public boolean isEmpty() { return size == 0; } public boolean isEntered(Node node) { return heapIndexMap.containsKey(node); } public boolean inHeap(Node node) { return isEntered(node) && heapIndexMap.get(node) != -1; } public void addOrUpdateOrIgnore(Node node, int distance) { if (inHeap(node)) { // 有这个结点的条件是，他加入过，且没有得到他独自的最小路径 // 如果有这个结点，就选择最小值更新，更新后，因为是变小了所有只考虑往上做insertHeapify，使其变为小根堆 heapIndexMap.put(node, Math.min(distanceMap.get(node), distance)); insertHeapify(node, heapIndexMap.get(node)); } // 如果没有这个结点，就新加入这个结点，然后往上做insertHeapify，使其变为小根堆 if (isEntered(node)) { nodes[size] = node; heapIndexMap.put(node, size); distanceMap.put(node, distance); insertHeapify(node, size++); } } public MyRecord pop() { MyRecord myRecord = new MyRecord(nodes[0], distanceMap.get(nodes[0])); // 返回一个记录结点，方便得到distance swap(0, size - 1); // 将最后一个结点放在头部，然后开始往下做小根堆 heapIndexMap.put(nodes[size - 1], -1); distanceMap.remove(nodes[size - 1]); nodes[size - 1] = null; // 此时这个弹出的头结点，置为null heapify(0, --size); return myRecord; } public void swap(int index1, int index2) { //交换两个结点 heapIndexMap.put(nodes[index1], index2); heapIndexMap.put(nodes[index2], index1); Node temp = nodes[index1]; nodes[index1] = nodes[index2]; nodes[index2] = temp; } public void insertHeapify(Node node, int size) { int index = heapIndexMap.get(node); // 如果他比他的父结点小，就往上冒 while (distanceMap.get(nodes[index]) < distanceMap.get(nodes[(index - 1) / 2])) { swap(index, (index - 1) / 2); index = (index - 1) / 2; } } public void heapify(int index, int size) { int left = 2 * index + 1; while (left < size) { // 如果有右节点，就找到左右结点中小的那一个的索引 int small = left + 1 < size && distanceMap.get(nodes[left + 1]) < distanceMap.get(nodes[left]) ? left + 1 : left; // 判断小的那个结点和父结点，那个小得到小的那个 small = distanceMap.get(nodes[small]) < distanceMap.get(nodes[index]) ? small : index; if (small == index) { // 如果父结点index更小，说明不需要往下更新小根堆 return; } swap(small, index); //否则更新小根堆 index = small; left = 2 * index + 1; } } } // 改进后的dijkstra算法 // 从head出发，所有能到达的结点，生成到达每个结点的最小路径 public static HashMap dijkstra(Node head, int size) { NodeHeap nodeHeap = new NodeHeap(size); // 先加入头结点head，路径为0 nodeHeap.addOrUpdateOrIgnore(head, 0); HashMap result = new HashMap(); while (!nodeHeap.isEmpty()) {//如果不为空，说明还有结点的路径没有更新 MyRecord record = nodeHeap.pop(); // 弹出最小路径的结点，遍历他所有的边，更新其他结点的路径 Node cur = record.node; int distance = record.distance; for (Edge edge : cur.edges) { nodeHeap.addOrUpdateOrIgnore(edge.to, distance + edge.weight); } result.put(cur, distance); // 然后在结果中加入这个结点 } return result; // 返回结果 } }

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