【高考数学】行列式，快速求出法向量

众所周知，在高考大题立体几何中，第二问的解法往往是一个机械的过程

（建立直角坐标系，求法向量，求夹角）。

那么，越是机械性的过程越可以简化，今天分享一种快速求法向量的方法——行列式，用熟以后会很方便。

首先，在建立直角坐标系时，要尽量选择一个方便的位置。

比如在求二面角时，需要求出两个法向量。如果你坐标系的位置足够巧妙的话，有一个法向量往往可以直接看出来。

接下来我们从向量“点乘”说起。

向量“点乘”，又叫做向量的“数量积”，它的算法如下：

a · b = | a | | b | cos θ

其中，a 和 b 是向量，| a | 表示向量 a 的模（长度），θ 表示两个向量之间的角度

它们算出来的结果是一个标量，因此“数量积”又称作“标量积”，我们往往利用这个公式来计算两向量夹角的余弦值。

那么，向量“叉乘”又是什么呢？

“叉乘”也叫作“叉积”，与“点乘”不同的是，它的运算结果是一个向量，其定义如下：

对于两个不共线的向量 u 和 v，它们的叉积写作 u × v，是 u 和 v 所在平面的法线向量（法向量），它与 u 和 v 都垂直。

简单来说，某平面上有两个向量 u 和 v。设向量 n = u × v，那么运算后得到的向量 n 与向量 u 和 v 都垂直（n ⊥ u,n ⊥ v）。那它当然也垂直于平面，是平面的法向量啦w

它的算法是这样的：

向量 u = ( u1, u2, u3 )，向量 v = ( v1, v2, v3 )，

算出来的向量 n = ( i 的系数, j 的系数, k 的系数 )

emmm...看不懂没关系，这就是行列式。在本文中，我们主要侧重于讨论怎么计算。

行列式的算法相当复杂，如下图：

（所以我想，应该不会有人想死记硬背吧......）

可是别慌，我们可以利用“对角线法则”来巧记：

emmm...还不明白？好吧，我写详细一点吧：

那么算好之后，怎么用呢？如下图例题所示：

我们得到 8i + 8j -8k，最终算出的向量 n = ( i 的系数, j 的系数, k 的系数 )，即 ( 8, 8, -8 ) 。

因为法向量只看方向，所以又可以同时除以 8，变成 ( 1, 1, -1 )

最后，给出四道行列式例题，以供大家练手：

答案：

参考资料：

1.《数学那玩意：自主招生秘籍》

（韩旭编著，浙江大学出版社，ISBN：978-7-308-08072-9）

2.《高等数学》（上册）

（同济大学数学系编，高等教育出版社，ISBN：978-7-04-039663-8）

3.维基百科（https://www.wikipedia.org/）

嗯，我承认这个方法一开始很费劲，不过熟练之后真的很快（对于我）。

最后，祝大家高考顺利，超常发挥！

（感谢 分享 / 硬币 / 收藏 / 关注 w）