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【解析几何笔记】1.3 向量的内积、外积和多重乘积
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1.3.0 前言 上一节:1.2 仿射坐标系 下一节:2.1 图形与方程 解析几何笔记整理在：解析几何笔记目录 本节阐述向量的内积、外积和多重乘积。 1.3.1 正文1.3.1.1 向量的内积内投影和外投影  投影的性质  内积的定义  一个公式  稍微验证一下正负就行了。 内积的双线性性质  这里利用了内投影的性质和最上面的那个公式。 坐标计算内积   注意这是因为a.a=|a|^2=a_1^2+a_2^2+a_3^3。 1.3.1.2 向量的外积 不管它是左手系还是右手系，总之方向这么判断：右手手掌从起始向量扫过二者夹角到终止向量时大拇指的朝向。  观察  这个引理不难证明： |a \times b|=|a \times \tilde{p_a}b|=|a||a_0 \times \tilde{p_a}b|=|a||\tilde{p_a}b|。 这个绕说得不清楚，它的意思是：  定理  这个定理看得我有点晕了，就先这样吧。 外积的右手直角坐标表示  这个公式是有特点的，第二个坐标的行列式每行的下标是逆序。 e.g  1.3.1.3 向量的多重乘积二重外积  上面用(右手)直角坐标系来证明命题1.4的过程是在太精妙了。 1处：建议记住1式，然后反推2式(直接记住2式也可以)。相当有规律。 混和积及几何意义--体积  判断夹角  简单来说就是看r是否与a \times b同侧，同侧a,b,r就是右手系，此时r与a \times b是锐角或0；反之a,b,r是左手系，此时r与a \times b是钝角或180度。 注意！  三个向量的顺序在定向时很重要。换奇数次序，左右手系必然变换，换偶数次序，左右手系不变。  (a,b,r),(b,r,a),(r,a,b)根据几何意义来看表示 \pm V,且它们是处于同一个手系，故而符号是一样的，因此三者值是一样的。 注意！(a,b,r)=-(b,a,r)，它们不处于同一个手系！ 怎么去记？  相邻的两个与另外一个互换(本质是两个向量互换，共换偶数次) 坐标计算混合积  这里稍微解释一下，我们知道r=c_1e_1+c_2e_2+c_3e_3。根据内积的双线性，我们会有诸如e_3 \times e_1 . e_1的项，显然根据混合积的几何意义得e_3 \times e_1 . e_1=0。 1处：这里的符号错误，应该是负号。如果e_1,e_2,e_3均是单位向量，且构成右手直角坐标系，那么由几何意义易得(e_1,e_2,e_3)=1。 向量组共面的充要条件及(e_1,e_2,e_3)=1的情况  1.3.2 总结向量的内积 内投影和外投影。投影的性质：满足加法的线乘，即p_e(ma+nb)=mp_ea+np_eb,\tilde{p_e}(ma+nb)=m\tilde{p_e}(a)+n\tilde{p_e}(b)。内积的定义。注意 0\le \le \pi。a.b=0 \iff =\frac{\pi}{2}内积具有对称性。一个公式a.b=\frac{p_b a}{b_0}|b|,其中b_0是b方向上的单位向量。内积的双线性性质(\lambda a).b=\lambda(a.b)=a.(\lambda b)和(a+b).c=a.c+b.c,c.(a+b)=c.a+c.b。直角坐标系中，内积等于向量个分量乘积之和。向量的外积 外积的定义，包括大小和方向的判断。a \times b=- b\times a。且a \times b =0 \iff a // b。|a \times b|=|a||\tilde {p_b}a|。外积的双线性性质(\lambda a)\times b=\lambda(a\times b)=a\times (\lambda b)和(a+b)\times c =a\times c+b \times c,c\times (a+b)=c\times a+c\times b。右手直角坐标系中，外积的坐标表示。据此可求三角形的面积。向量的多重乘积 二重外积不满足结合律，即一般情况而言(a \times b) \times c \ne a \times (b\times c)。二重外积的公式：(a \times b) \times c = (a.c)b-(b.c)a;a \times (b\times c)=(a.c)b-(a.b)c。混合积的定义，a \times b .r简记为(a,b,r)。其几何意义是求三个不共面向量的体积：若a,b,r构成右手系,则V=(a,b,r)；若a,b,r构成左手系,则V=-(a,b,r)。看r是否与a \times b同侧，同侧a,b,r就是右手系，此时r与a \times b是锐角或0；反之a,b,r是左手系，此时r与a \times b是钝角或180度。向量的手系与向量的顺序有关，一次对换两个向量，则左右手系变换。混合积的性质 a,b,c共面当且仅当(a,b,c)=0。(a,b,c)=(b,c,a)=(c,a,b)。(a\times b).c=(a,b,c)=a.(b\times c),即在保证合法性的情况下(加括号)，内积符号和外积符号在混合积中可以互换。混合积的坐标表示。考虑(e_1,e_2,e_3)=1的情况。联系混合积的坐标表示，得到三个向量共面的充要条件。1.3.3 参考解析几何_视频课程《解析几何》，尤承业编著 |
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