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数据结构与算法(七)：二叉树
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定义
树是一种非线性表结构，它是由n(n≥0)个有限节点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做“树”是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。它具有以下的特点：每个节点有零个或多个子节点；没有父节点的节点称为根节点；每一个非根节点有且只有一个父节点；除了根节点外，每个子节点可以分为多个不相交的子树。
如下图，A 节点就是 B 节点的父节点，B 节点是 A 节点的子节点。B、C、D 这三个节点的父节点是同一个节点，所以它们之间互称为兄弟节点。我们把没有父节点的节点叫做根节点，也就是图中的节点 E。我们把没有子节点的节点叫做叶子节点或者叶节点，比如图中的 G、H、I、J、K、L 都是叶子节点。
二叉树，顾名思义，每个节点最多有两个“叉”，也就是两个子节点，分别是左子节点和右子节点。除了叶子节点之外，每个节点都有左右两个子节点，这种二叉树就叫做满二叉树。叶子节点都在最底下两层，最后一层的叶子节点都靠左排列，并且除了最后一层，其他层的节点个数都要达到最大，这种二叉树叫做完全二叉树。 如何存储一颗二叉树 链式存储法一种基于指针或者引用的二叉链式存储法，每个节点有三个字段，其中一个存储数据，另外两个是指向左右子节点的指针。我们只要拎住根节点，就可以通过左右子节点的指针，把整棵树都串起来。这种存储方式我们比较常用。大部分二叉树代码都是通过这种结构来实现的。结构如下图：
我们把根节点存储在下标 i = 1 的位置，那左子节点存储在下标 2 * i = 2 的位置，右子节点存储在 2 * i + 1 = 3 的位置。以此类推，B 节点的左子节点存储在 2 * i = 2 * 2 = 4 的位置，右子节点存储在 2 * i + 1 = 2 * 2 + 1 = 5 的位置。即如果节点 X 存储在数组中下标为 i 的位置，下标为 2 * i 的位置存储的就是左子节点，下标为 2 * i + 1 的位置存储的就是右子节点。
常用的二叉树的遍历有三种方法，前序遍历、中序遍历和后序遍历。
二叉树遍历的伪代码实现： void preOrder(Node* root) { if (root == null) return; print root // 此处为伪代码，表示打印root节点 preOrder(root->left); preOrder(root->right); } void inOrder(Node* root) { if (root == null) return; inOrder(root->left); print root // 此处为伪代码，表示打印root节点 inOrder(root->right); } void postOrder(Node* root) { if (root == null) return; postOrder(root->left); postOrder(root->right); print root // 此处为伪代码，表示打印root节点 } 二叉查找树二叉查找树是二叉树中最常用的一种类型，也叫二叉搜索树，它最大的特点就是，支持动态数据集合的快速插入、删除、查找操作。二叉查找树要求，在树中的任意一个节点，其左子树中的每个节点的值，都要小于这个节点的值，而右子树节点的值都大于这个节点的值。简易代码实现如下： public class LinkBinaryTree { private Node _root; public LinkBinaryTree() { } public void insert(int data) { if (_root == default(Node)) { _root = new Node(data); return; } var node = _root; while (node != null) { if (data < node.data) { if (node.left == null) { node.left = new Node(data); return; } node = node.left; } else { if (node.Right == null) { node.Right = new Node(data); return; } node = node.Right; } } } public bool Exist(int data) { if (_root == default(Node)) return false; var node = _root; while (node != null) { if (node.data == data) { return true; } else if (node.data < data) { node = node.Right; } else { node = node.left; } } return false; } public void Delete(int data) { if (_root == default(Node)) return; var node = _root; Node pNode = null; while (node != null && node.data != data) { pNode = node; node = node.data > data ? node.left : node.Right; } if (node == null) return; // 要删除的节点有两个子节点 if (node.left != null && node.Right != null) { Node minP = node.Right; Node minPP = node; while (minP.left != null) { minPP = minP; minP = minP.left; } node.data = minP.data; node = minP; pNode = minPP; } // 删除节点是叶子节点或者仅有一个子节点 Node child = null; if (node.left != null) { child = node.left; } else if (node.Right != null) { child = node.Right; } if (pNode == null) { _root = child; } else if (pNode.left == node) { pNode.left = child; } else { pNode.Right = child; } } public void Print() { if (_root == default(Node)) return; MiddlePrint(_root); } private void MiddlePrint(Node node) { if (node.left != null) { MiddlePrint(node.left); } Console.WriteLine($"{node.data}"); if (node.Right != null) { MiddlePrint(node.Right); } } class Node { public Node(int data) { this.data = data; } public Node(int data, Node left, Node right) { this.data = data; this.left = left; Right = right; } public int data { get; set; } public Node left { get; set; } public Node Right { get; set; } } } 二叉查找树的时间复杂度分析际上，二叉查找树的形态各式各样。比如这个图中，对于同一组数据，我们构造了三种二叉查找树。它们的查找、插入、删除操作的执行效率都是不一样的。图中第一种二叉查找树，根节点的左右子树极度不平衡，已经退化成了链表，所以查找的时间复杂度就变成了 O(n)。
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不过上图是一颗完全二叉树，所以数组仅仅浪费了下标为0的存储位置，如果是非完全二叉树，则可能会浪费比较多的数组内存空间。所以当要存储的树是一颗完全二叉树时，数组才是最合适的选择。
实际上，二叉树的前、中、后序遍历就是一个递归的过程。
可以看出，不管操作是插入、删除还是查找，时间复杂度其实都跟树的高度成正比，也就是 O(height)。树的高度就等于最大层数减一，为了方便计算，我们转换成层来表示。包含 n 个节点的满二叉树中，第一层包含 1 个节点，第二层包含 2 个节点，第三层包含 4 个节点，依次类推，下面一层节点个数是上一层的 2 倍，第 K 层包含的节点个数就是 2^(K-1)。不过，对于完全二叉树来说，最后一层的节点个数有点儿不遵守上面的规律了。它包含的节点个数在 1 个到 2^(L-1) 个之间（我们假设最大层数是 L）。如果我们把每一层的节点个数加起来就是总的节点个数 n。也就是说，如果节点的个数是 n，那么 n 满足这样一个关系：【本文地址】