阿诺尔德（V.I. Arnold ）：关于数学教学

On teaching mathematics

V.I. Arnold

7 March 1997

数学是物理学的一部分。物理学是实验科学，是自然科学的一部分。数学是物理学的一部分，其中实验成本较低。

雅可比恒等式（它强制三角形的高度在一个点相交）是一种实验事实，就像地球是圆的一样（也就是说，同胚于球体）。但是它可以用更少的费用发现。

在二十世纪中叶，曾试图将物理学和数学分开。结果证明是灾难性的。整整一代数学家在不了解他们科学的一半的情况下成长起来，当然，对于任何其他科学也一无所知。他们首先开始向他们的学生教授他们丑陋的学院式伪数学，然后是向学童教授（忘记哈代的警告，即丑陋的数学在太阳下没有永久的位置）。

由于从物理学中割裂出来的学院式数学既不适合教学，也不适合在任何其他科学中应用，因此结果是普遍憎恨数学家 - 无论是贫困的学童（其中一些在此期间成为了部长）还是用户。

由于受到自卑情结的未受教育的数学家建造的丑陋建筑无法使自己熟悉物理学，因此它让人想起奇数的严格公理理论。显然，可以创建这样的理论，并使学生们钦佩所得到的结构的完美性和内部一致性（例如，定义了奇数项的和和任意数量的因子的乘积）。从这个教派的观点来看，偶数可以被宣布为异端邪说，或者在时间的推移中，引入一些“理想”的对象来补充理论（以符合物理学和现实世界的需求）。

不幸的是，像上面那样丑陋扭曲的数学构造在数学教学中占主导地位已经有几十年了。这种扭曲最初起源于法国，很快就传播到数学基础教学中，先是大学生，然后是所有线路的学校学生（首先是法国，然后是其他国家，包括俄罗斯）。

对于“ 2+3 等于多少”的问题，一位法国小学生回答：“ 3+2 ，因为加法是交换的”。他不知道这个总和等于多少，甚至无法理解自己被问到的问题！

另一位法国学生（在我看来相当理性）将数学定义如下：“有一个正方形，但那还需要证明”。

根据我在法国的教学经验，大学生对数学的理解（即使是那些在 École Normale Supérieure 学习数学的人-我最为遗憾的是这些明显聪明但变形的孩子）也和这位学生一样差。

例如，这些学生从未见过抛物面，而一个给出方程 xy = z^2 的表面形式的问题会让在ENS学习的数学家们陷入恍惚。在平面上绘制由参数方程（如 x = t^3−3t, y = t^4−2t^2 ）给出的曲线是对学生来说完全不可能的问题（甚至对大多数法国数学教授来说也是如此）。

从 l'Hospital 关于微积分的第一本教材（“曲线理解的微积分”）开始，大约一直到 Goursat 的教材，解决这些问题的能力被认为是每个数学家技艺的必要部分（除了乘法口诀的知识）。

“抽象数学”的狂热分子们抛弃了所有几何学（通过几何学，数学通常与物理和现实联系在一起）。Goursat、Hermite、Picard 的微积分教材最近被巴黎六大和七大学学生图书馆扔掉，因为它们过时了，因此有害（它们只被我的介入所拯救）。

在巴黎高等师范学院学习微分和代数几何的学生（由受人尊敬的数学家讲授）竟然不认识椭圆曲线的黎曼曲面 y^2 = x^3 + ax + b ，事实上也不认识曲面的拓扑分类（更不用说第一类椭圆积分和椭圆曲线的群性质，即欧拉-阿贝尔加法定理）。他们只学过霍奇结构和雅可比变量！

这种事情怎么会发生在曾经给世界带来拉格朗日、拉普拉斯、柯西、庞加莱、勒瑞和汤姆的法国呢？

我觉得I.G.彼得罗夫斯基在1966年教我的时候给出了一个合理的解释：真正的数学家不会结伙，但是弱者需要结伙才能生存。他们可以以各种理由团结在一起（可以是超抽象性、反犹太主义或者“应用和工业”问题），但本质上都是为了解决社会问题——在更有文化的环境中生存。顺便提醒一下，我要提醒大家拉·巴斯德说过的一句话：从来没有“应用科学”，只有科学的应用（非常有用的应用！）。

那个时候我对彼得罗夫斯基的话有些怀疑，但现在我越来越认为他是对的。超抽象活动的相当一部分实际上就是无耻地从发现者那里掠夺发现，并将它们系统地归于模仿者和普及者。就像美国不以哥伦布的名字命名一样，数学结果几乎从来不以发现者的名字命名。

为了避免被误引用，我必须指出，我的成就出奇地没有被这种方式侵犯，尽管我的老师（科尔莫戈洛夫、彼得罗夫斯基、庞特雅金、罗克林）和我的学生都经历了这种情况。贝里教授曾经提出了以下两个原则：

然而，让我们回到法国的数学教学。

当我是莫斯科国立大学力学与数学系的一年级学生时，集合论拓扑学家Tumarkin教授讲授了微积分课程，他认真地讲述了法国式的古典微积分课程，采用了Goursat版本。他告诉我们，如果沿着代数曲线的有理函数积分，对应的黎曼曲面是一个球，通常情况下，如果其亏格更高，则不能进行积分，并且对于球形，有足够多的双点即可（这迫使曲线成为单支曲线：可以用一笔画出其实点在投影平面上的情况）。

这些事实非常引人入胜，即使不需要任何证明，它们也比整套布尔巴基著作更能给出现代数学的正确和更好的印象。实际上，我们在这里发现了一种美妙的联系，它将看似完全不同的事物联系在一起：一方面，积分的显式表达式和相应黎曼曲面的拓扑结构，另一方面，相应黎曼曲面的双点数和亏格之间的奇妙联系，在实域中也表现为单支性。

雅可比指出，作为数学最迷人的特性，同一个函数可以控制整数表示为四个平方数的总和和摆锤的实际运动。

这些发现连接异质数学对象的能力可以与物理学中电和磁之间的联系或地质学中美洲东海岸和非洲西海岸之间的相似性的发现相比较。

这些发现对教学的情感意义难以高估。正是它们教会我们寻找和发现宇宙和谐的奇妙现象。

数学教育的非几何化和与物理学的脱离断绝了这些联系。例如，不仅是学生，而且现代代数几何学家基本上都不知道雅可比所提到的事实：第一类椭圆积分表示与相应哈密顿系统中椭圆相位曲线的运动时间。

重申关于电子和原子的著名言论，可以说，一个内旋轮线像多项式环中的理想一样无穷无尽。但是，向从未见过内旋轮线的学生教授理想是荒谬的，就像向从未将蛋糕或苹果切成相等部分（至少在头脑中）的孩子教授分数加法一样。难怪孩子们更喜欢将分子加到分子上，将分母加到分母上。

我从我的法国朋友那里听说，超级抽象概括的倾向是他们传统的民族特征。我不完全不同意这可能是一种遗传病，但我想强调一下，我从庞加莱那里借用了蛋糕和苹果的例子。

构建数学理论的方案与任何其他自然科学中的方案完全相同。首先，我们考虑一些对象并在特定情况下进行观察。然后，我们尝试找到我们观察的应用范围的限制，寻找可能阻止我们将观察结果不合理地扩展到太广泛事件范围的反例（例如：连续奇数 1、3、5、7、9 的分区数到一个奇数自然和数的序列为 1、2、4、8、16 ，但随后是 29 ）。

结果，我们尽可能清晰地阐述我们所做的经验性发现（例如费马猜想或庞加莱猜想）。此后，就是检查结论可靠性的困难时期。

在这一点上，数学中已经发展出了一种特殊的技术。这种技术在应用于现实世界时有时很有用，但有时也会导致自我欺骗。这种技术称为建模。在构建模型时，进行以下理想化：某些仅以一定概率或一定精度知道的事实被认为是“绝对”正确的，并被接受为“公理”。这种“绝对性”的意义在于，我们允许自己按照形式逻辑的规则使用这些“事实”，在过程中将从它们推导出的所有内容声明为“定理”。

很明显，在任何现实生活中的活动中，完全依赖这样的推论是不可能的。原因至少是，所研究现象的参数从来不是完全准确的，而且参数的微小变化（例如，过程的初始条件）可以完全改变结果。例如，因为这个原因，可靠的长期天气预报是不可能的，并且将始终是不可能的，无论我们发展多少记录初始条件的计算机和设备。

同样地，公设（我们不能完全确定的）的微小变化通常能够导致完全不同于从已接受的公设中推导出的定理所得出的结论。推论（“证明”）的链越长、越复杂，最终结果越不可靠。

复杂的模型很少有用（除非是为那些写论文的人）。

建模的数学技术包括忽略这个问题，以一种方式来谈论你的演绎模型，好像它与现实完全一致。这条路显然是不正确的，从自然科学的角度来看，但在物理学中经常会产生有用的结果，这被称为“数学在自然科学中的难以想象的有效性”（或“维格纳原理”）。

这里我们可以加上I.M. Gel'fand的一句话：还有另一种现象，它与维格纳所指出的数学在物理学中的难以想象的有效性相当，这就是数学在生物学中同样难以想象的无效性。

对于物理学家来说，“数学教育的微妙毒药”（用F. Klein的话来说）就在于绝对化的模型与现实分离，不再与现实相比较。这里有一个简单的例子：数学教我们，马尔萨斯方程 \text{d} x/\text{d}t = x 的解是由初始条件唯一定义的（即在 (t, x) 平面上相应的积分曲线不相交）。数学模型的这个结论与现实关系不大。计算机实验表明，所有这些积分曲线在负t半轴上有共同点。事实上，例如，初始条件为 x(0)=0 和 x(0) =1 的曲线在 t = -10 时几乎相交，在 t = -100 时你无法在它们之间放进一个原子。在这样小的距离上，空间的性质根本不能用欧几里得几何来描述。在这种情况下应用唯一性定理显然超出了模型的精度。在实际应用模型时，必须尊重这一点，否则可能会面临严重的麻烦。

然而，我想指出的是，同样的唯一性定理解释了为什么停靠船只到码头的闭合阶段是手动完成的：在操纵时，如果接近速度被定义为距离的平滑（线性）函数，停靠过程将需要无限长的时间。另一种选择是与码头碰撞（通过适当的非理想弹性体阻尼）。顺便说一句，在登陆月球和火星的第一批降落器以及对接空间站时，这个问题必须认真解决，因为唯一性定理正在对我们起作用。

不幸的是，即使在更好的现代数学教科书中，也找不到这样的例子或讨论把定理神化的危险。我甚至有一种印象，学院派数学家（对物理学知之甚少）认为公设数学与自然科学中常见的建模有根本区别，而后者总是需要通过实验来控制推论。

更不用说初始公设的相对性质了，我们不能忘记长时间论证中逻辑错误的不可避免性（例如，由宇宙射线或量子振荡引起的计算机故障）。每个工作的数学家都知道，如果一个人不能控制自己（最好通过示例），那么在十页左右之后，所有公式中一半的符号都将是错误的，二将从分母进入分子。

对抗这些错误的技术与任何实验科学中的外部控制相同，应该从学校的初级阶段开始教给所有学生。

试图创建“纯”演绎公设数学导致了对物理学中使用的方案（观察-模型-模型的研究-结论-通过观察进行测试）的拒绝，以及将其替换为方案：定义-定理-证明。不能理解没有动机的定义，但这并没有阻止罪犯代数学家和公设化者。例如，他们会毫不犹豫地用长乘法规则定义自然数的乘积。这样，乘法的可交换性变得难以证明，但仍然可以从公设中推导出它作为定理。然后，可以迫使可怜的学生学习这个定理及其证明（以提高科学和教学人员的地位）。很明显，这样的定义和证明只会损害教学和实际工作。

只有通过按军衔和文件计算和重新计算士兵或通过两种方式计算矩形的面积，才能理解乘法的可交换性。任何试图在物理和现实干扰数学的情况下进行数学的分派主义和孤立主义都会破坏数学作为有用人类活动的形象，这是所有明智人的共识。

我将揭示更多这样的秘密（为了贫困学生的利益）。

矩阵的行列式是其列组成的平行六面体的（有向）体积。如果学生们被告知这个秘密（它被精制的代数教育仔细隐藏），那么行列式的整个理论就成为多线性形式理论的一个清晰的章节。如果行列式以其他方式定义，那么任何明智的人都将永远憎恨所有行列式、雅可比矩阵和隐函数定理。

什么是群？代数学家教授这是一组具有两个满足大量易于遗忘的公理的操作的集合。这个定义引起了自然的抗议：为什么任何明智的人需要这样的操作对呢？“哦，诅咒这个数学”- 结束了学生（可能成为未来的科学部长）。

如果我们从历史上的变换概念开始，而不是从群开始，我们会得到完全不同的情况。如果一个集合的变换集合包含任意两个变换的连续应用的结果以及每个变换的逆变换，那么这个集合被称为群。

这就是所有的定义。所谓的“公理”实际上只是变换群的（明显的）属性。公理化者所谓的“抽象群”实际上只是被认为是同构的各种集合的变换群（保留操作的一对一映射）。正如Cayley证明的那样，世界上没有“更抽象”的群。那么为什么代数学家继续折磨学生进行抽象定义？

顺便说一句，在20世纪60年代，我教授了莫斯科的学童群论。在避免所有的公理化并尽可能接近物理的情况下，我在半年内就到达了阿贝尔定理，证明了无法用根式求解五次一般方程（在途中教授了复数、黎曼面、代数函数的基本群和单卷性群）。这门课程后来由听众之一V. Alekseev出版，名为《问题中的阿贝尔定理》。

什么是光滑流形？最近我在一本美国书中读到，Poincaré不熟悉这个（由他自己引入的）概念，而“现代”定义是在20世纪20年代末由Veblen给出的：流形是满足一系列公理的拓扑空间。

学生们为了什么罪过必须穿越这些曲折复杂的知识点？实际上，在庞加莱的分析拓扑学中，有一个绝对清晰的平滑流形定义，比“抽象”的定义更有用。

欧几里得空间 \mathbb{R}^N 中的平滑k维子流形是它的子集，在每个点的邻域内都是 \mathbb{R}^k 到 \mathbb{R}^{N-k} 的平滑映射的图形（其中 \mathbb{R}^k 和 \mathbb{R}^{N-k} 是坐标子空间）。这是平面上大多数常见平滑曲线（比如圆 x^2+y^2=1 ）或三维空间中的曲线和曲面的直接推广。

平滑流形之间自然定义了平滑映射。微分同胚是平滑映射及其逆的映射。

一个“抽象”的平滑流形是欧几里得空间的平滑子流形，考虑到微分同胚。世界上没有“更抽象”的有限维平滑流形（惠特尼定理）。为什么我们要折磨学生用抽象的定义呢？不是更好地向他们证明关于封闭二维流形（曲面）的显式分类定理吗？

正是这个奇妙的定理（例如，任何紧致连通的定向曲面都是带有一些手柄的球体）给出了现代数学的正确印象，而不是超抽象的欧几里得空间的天真子流形的一般化，实际上并没有给出什么新东西，而被公理化者们呈现为成就。

曲面分类定理是一项一流的数学成就，可与发现美洲或X射线相媲美。这是数学自然科学的真正发现，甚至很难说这个事实本身更应归功于物理学还是数学。就其对应用和正确世界观的发展的意义而言，它远远超过了数学的“成就”，如费马最后定理的证明或任何足够大的整数可表示为三个质数之和的事实的证明。

为了宣传，现代数学家有时会将这些体育成就呈现为他们科学的最后一句话。可以理解的是，这不仅不有助于社会对数学的赞赏，反而引起了对于在这些不被任何人需要或需要的奇异问题上浪费能量的健康怀疑（攀岩类型的练习）。

分类面定理本应该包含在高中数学课程中（可能不需要证明），但由于某些原因，甚至连大学数学课程中都没有包括（顺便说一句，在法国，过去几十年里所有的几何学都已被禁止）。从学术闲聊到呈现自然科学的重要领域，数学教学在各个层次上的回归是法国的一个特别热门问题。我很惊讶，这里的学生几乎不知道所有最好和最重要的方法论数学书籍（似乎也没有被翻译成法语）。其中包括Rademacher和Toplitz的《数字和图形》，Hilbert和Cohn-Vossen的《几何与想象》，Courant和Robbins的《什么是数学？》，Polya的《如何解决问题》和《数学与合理推理》，F. Klein的《19世纪数学的发展》。

我还清楚地记得在我的学生时代，Hermite的微积分课程（现在有俄语翻译！）给我留下了深刻的印象。

黎曼曲面似乎出现在其中的一堂课中（当然，所有的分析都是复分析，正如应该的那样）。在分支点运动下，通过对里曼曲面进行路径变形来研究积分的渐近性（现在，我们可能称之为皮卡-勒夫谢茨理论；顺便说一句，皮卡是Hermite的女婿——数学能力经常通过女婿传递：Hadamard王朝- P. Levy- L. Schwarz- U. Frisch是巴黎科学院的另一个著名例子）。

一百年前的Hermite的“过时”课程（现在可能已经被法国大学的学生图书馆扔掉了）比现在那些最无聊的微积分教材要现代得多，这些教材让学生们受尽折磨。

如果数学家们没有醒悟过来，那么保存了对现代、最好意义上的数学理论需求和对无用公理闲聊的免疫力（对于任何明智的人来说都是典型的），最终将拒绝受过教育的学究在学校和大学中的服务。

一位数学教师，如果他没有至少掌握Landau和Lifshitz课程的某几卷，那么他将成为现在不知道开放集和闭合集之间区别的人的遗物。