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幂集
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在集合论中，幂集（power set）是一个集合的所有子集构成的集合。 定义[]假设 S {\displaystyle S} 是一个集合，我们称下面的集合 P ( X ) := { T : T ⊂ S } {\displaystyle \mathcal{P}(X) := \{ T: T \subset S \}} 为 S {\displaystyle S} 的幂集。S {\displaystyle S} 的幂集还有另外一种表示方式： 2 X {\displaystyle 2^X} ，这是基于下面的事实： 2 S {\displaystyle 2^S} 是所有 S → { 0 , 1 } {\displaystyle S \to \{ 0, 1 \}} 的函数的集合，如果我们对任意的 f ∈ 2 S {\displaystyle f \in 2^S} ，规定如下叙述形成的对应 τ : 2 S → P ( S ) , f ↦ T {\displaystyle \tau: 2^S \to \mathcal{P}(S), f \mapsto T} 表示：对任意 x ∈ X {\displaystyle x \in X} ， f ( x ) = 1 {\displaystyle f(x) = 1} 当且仅当 x ∈ T {\displaystyle x \in T} ，这样可以验证 τ {\displaystyle \tau} 是一个双射，因此我们不区分 2 S {\displaystyle 2^S} 和 P ( S ) {\displaystyle \mathcal{P}(S)} 。特别地，空集 ∅ {\displaystyle \varnothing} 的幂集是 { ∅ } {\displaystyle \{ \varnothing \}} ，他是一个元素组成的集合而非空集。 基数[]如果 S {\displaystyle S} 是有限集，不妨假设它的元素个数是 n {\displaystyle n} ，那么 2 S {\displaystyle 2^S} 的元素个数是 2 n . {\displaystyle 2^n.} 如果 S {\displaystyle S} 是无限集，假设它的基数记作 | S | {\displaystyle |S|} ，那么我们定义 2 S {\displaystyle 2^S} 的基数是 2 | S | . {\displaystyle 2^{|S|}.} 例如自然数（基数为 ℵ {\displaystyle \aleph} ）的幂集的基数是 2 ℵ {\displaystyle 2^\aleph} ，它和实数等势。 公理集合论（学科代码：1101450，GB/T 13745—2009） 集合 集合 ▪ 空集 ▪ 交集 ▪ 并集 ▪ 差集 ▪ 补集 ▪ 对称差 ▪ 指标集 ▪ 多重集 ▪ Cartesian 积 映射 映射 ▪ 单射和满射 ▪ 双射 ▪ 逆映射 ▪ 基数和集合的势 ▪ 可数集 关系 二元关系 ▪ 二元运算 ▪ 单位元 ▪ 零元 ▪ 逆元 ▪ 序关系和偏序集的运算 ▪ 等价关系 公理系统 选择公理 ▪ Zorn 引理 ▪ 良序公理 ▪ 数学归纳法和超限归纳原理 所在位置：数学（110）→ 数理逻辑与数学基础（11014）→ 公理集合论（1101450） |
是一个集合，我们称下面的集合
为
S
{\displaystyle S}
，这是基于下面的事实：
是所有
S
→
{
0
,
1
}
{\displaystyle S \to \{ 0, 1 \}}
的函数的集合，如果我们对任意的
f
∈
2
S
{\displaystyle f \in 2^S}
，规定如下叙述形成的对应
τ
:
2
S
→
P
(
S
)
,
f
↦
T
{\displaystyle \tau: 2^S \to \mathcal{P}(S), f \mapsto T}
表示：对任意
x
∈
X
{\displaystyle x \in X}
，
f
(
x
)
=
1
{\displaystyle f(x) = 1}
当且仅当
x
∈
T
{\displaystyle x \in T}
，这样可以验证
τ
{\displaystyle \tau}
是一个双射，因此我们不区分
2
S
{\displaystyle 2^S}
。
的幂集是
{
∅
}
{\displaystyle \{ \varnothing \}}
，他是一个元素组成的集合而非空集。
，那么
2
S
{\displaystyle 2^S}
，那么我们定义
2
S
{\displaystyle 2^S}
）的幂集的基数是
2
ℵ
{\displaystyle 2^\aleph}
，它和实数等势。
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