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根据哈密顿-凯莱定理,任给数域P上的一个n级矩阵A,总可以找到数域P上一个多项式 讨论如何应用最小多项式来判断一个矩阵能否对角化. 引理1:矩阵A的最小多项式是唯一的。 引理2:设 由此可知,矩阵A的最小多项式是A的特征多项式的一个因式。 例1:数量矩阵kE的最小多项式为x-k,特别地,单位矩阵的最小多项式为x-1,零矩阵的最小多项式为x. 另一方面,如果A的最小多项式是1次多项式,那么A一定是数量矩阵。 例2:设 解:因为A的特征多项式为 如果矩阵A与B相似: 例3:设 引理3: 设A是一个准对角矩阵 这个矩阵可以推广到A为若干个矩阵组成的准对角矩阵的情形,即:如果 证明:记 引理4: K级若尔当块 证明:J的特征多项式为 定理 数域P上n级矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件为A的最小多项式是P上互素的一次因式的乘积。 推论:复数矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是A的最小多项式没有重根。
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