指数函数, 对数函数以及幂函数的定义

2023-09-21 22:41| 来源: 网络整理| 查看: 265

这里, 我们利用实数理论以及极限理论来完整的定义指数函数, 对数函数以及幂函数的定义.

指数函数 $a^x$

设 $a>1$.

对于 $n\in \mathbb{N}$, 归纳的定义 $a^1 = a, a^{n+1}=a^n\cdot a^1$, 这样我们就在 $\mathbb{N}$ 上定义了函数 $a^n$, 同时可以看出, 函数具有性质$a^m/a^n = a^{m-n}(m,n\in \mathbb{N}, m>n)$. 由上面这个性质, 我们可以自然的定义 $a^0: = 1, a^{-n} = 1/a^n $. 于是, $a^n$ 的定义自然的拓展到了整数集 $\mathbb{Z}$ 上. $\forall n,m\in \mathbb{Z}, a^n\cdot a^m = a^{n+m}$. 由实数理论, 我们知道 $\forall a> 0, n\in\mathbb{N},\exists \text{唯一的}x>0 (x^n = a)$. 用 $x = a^{1/n}$ 表示数 $a$ 的 $n$ 次方根. 这一记法保留了指数的加法规则. 于是我们可以进一步定义 $a^{m/n}(m,n\in\mathbb{N})$. 即对于 $r\in\mathbb{Q}$ 定义了 $a^r$. 由归纳原理, 可以验证 $\forall x>0, y>0, n\in\mathbb{N}$ 时有 $(x< y)\Leftrightarrow(x^n< y^n)$ 和 $(x= y)\Leftrightarrow(x^n= y^n)$. 由此我们可以证明有理指数的运算法则, 并得到 $\forall r_1,r_2\in \mathbb{Q}, a^{r_1}\cdot a^{r^2} = a^{r_1+r_2}$. 由 4. 知 $r_1,r_2\in \mathbb{Q}, (r_11$; $a^{r_1}\cdot a^{r_2} = a^{r_1+r_2}$; $(r_1x}a^r$. 可以证明 $s = i$. 接着证明 $$a^x = \lim_{\mathbb{Q}\ni r\rightarrow x}a^r.$$于是我们就将指数函数的定义推广到了 $\mathbb{R}$ 上. 证明思想类似于作无理数的有理逼近. 可以证明, 这个推广的定义继承了前面定义中所有的性质.

【完备性公理】如果 $X$ 与 $Y$ 是 $\mathbb{R}$ 的非空子集, 且 $\forall x\in X, y\in Y$ 有 $x\leqslant y$, 则 $\exists c\in\mathbb{R}$ 使得 $\forall x\in X, y\in Y$, 有 $x\leqslant c\leqslant y$.

最后, 我们指出, 函数 $x\mapsto a^x$ 的值域是 $\mathbb{R_+}$. 事实上, $\forall y_0 \in \mathbb{R_+}$, 可以将定义域 $\mathbb{R}$ 分成两个集合: $A:=\{x\in\mathbb{R}|a^xy_0\}$. 显然 $A,B$ 都不是空集, 而由前述性质, (因$a>1$)有 $\forall x_1\in A, x_2\in B\Rightarrow (a^{x_1}< a^{x^2})$. 依据完备性公理, 存在 $x_0$ 使得 $\forall x_1\in A, x_2\in B$, 有 $x_1\leqslant x_0 \leqslant x_2$. 而利用反证法, 容易说明, $a^{x_0}= y_0$. 前面我们均设 $a>1$, 而实际上对于 $00, a\neq 1$, 我们在实数集上构造了函数 $x\mapsto a^x$, 其满足以下性质:- $a^1 = a>1$;- $a^{x_1}\cdot a^{x^2} = a^{x_1+x_2}$;- $a>1$ 时, $(x_1

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