高等数学❤️第一章~第二节~极限❤️极限的计算~利用等价无穷小替换求极限详解

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专栏：高等数学

目录

【精讲】高等数学中利用等价无穷小替换求极限

导言

一、等价无穷小的概念

二、等价无穷小的性质

三、利用等价无穷小替换求极限

四、举例说明

五、注意事项： 在使用等价无穷小替换时，需要注意以下几点：

必需记忆知识点 

例题（用于熟悉高等数学中利用等价无穷小替换求极限）  

例题1

例题2

例题3

例题4

例题5

例题6

例题7

例题8

例题9

结论

在高等数学中，求极限是研究函数和数列趋向某个值的重要问题。有时候，我们遇到复杂的极限计算，无法直接应用传统的极限运算法则。为了简化计算过程，我们可以利用等价无穷小替换的方法来求解极限。本文将详细解释等价无穷小替换的概念、性质，以及在极限计算中的正确应用。

等价无穷小是指在极限计算中，当自变量趋于某一点时，两个无穷小量之间的差异趋向于零。换句话说，如果函数f(x)和g(x)在x=a处都为无穷小，且lim(x→a) [f(x) - g(x)] = 0，则我们称f(x)和g(x)是等价无穷小。在这种情况下，我们可以用一个无穷小量替代另一个无穷小量，以简化极限计算。

等价无穷小具有传递性：如果lim(x→a) [f(x) - g(x)] = 0且lim(x→a) [g(x) - h(x)] = 0，则lim(x→a) [f(x) - h(x)] = 0。换句话说，如果f(x)是g(x)的等价无穷小，而g(x)是h(x)的等价无穷小，那么f(x)也是h(x)的等价无穷小。

常数倍法则：如果lim(x→a) f(x) = 0，则对于任意常数c，lim(x→a) [cf(x)] = 0。这意味着常数倍的无穷小量也是等价无穷小。

利用等价无穷小替换的方法可以简化复杂极限的计算过程。以下是使用等价无穷小替换求极限的一般步骤：

假设我们要计算极限lim(x→0) sin(x)/x。在x趋向0时，分母x趋于0，而sin(x)在x=0处的极限为0。因此，我们可以将sin(x)替换为它的等价无穷小x，得到新的极限lim(x→0) x/x = lim(x→0) 1 = 1。

等价无穷小替换是高等数学中简化极限计算的有效方法。通过将复杂的无穷小量替换为等价无穷小，我们可以简化极限计算过程，并得出准确的极限结果。在应用等价无穷小替换时，需要遵循替换的准则，并保证替换后的极限结果与原极限等价。这个方法在高等数学和相关领域的数学问题中有广泛的应用。

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