计算梯度:网络的前向与反向传播 和 优化方法:更新模型参数的方法

我们一同学习了损失函数的概念以及一些常用的损失函数。你还记得我们当时说的么：模型有了损失函数，才能够进行学习。那么问题来了，模型是如何通过损失函数进行学习的呢？

在接下来，我们将会学习前馈网络、导数与链式法则、反向传播、优化方法等内容，掌握了这些内容，我们就可以将模型学习的过程串起来作为一个整体，彻底搞清楚怎样通过损失函数训练模型。

下面我们先来看看最简单的前馈网络。

前馈网络，也称为前馈神经网络。顾名思义，是一种“往前走”的神经网络。它是最简单的神经网络，其典型特征是一个单向的多层结构。简化的结构如下图：

结合上面的示意图，我带你具体看看前馈网络的结构。这个图中，你会看到最左侧的绿色的一个个神经元，它们相当于第 0 层，一般适用于接收输入数据的层，所以我们把它们叫做输入层。

比如我们要训练一个 y=f(x) 函数的神经网络，x 作为一个向量，就需要通过这个绿色的输入层进入模型。那么在这个网络中，输入层有 5 个神经元，这意味着它可以接收一个 5 维长度的向量。

结合图解，我们继续往下看，网络的中间有一层红色的神经元，它们相当于模型的“内部”，一般来说对外不可见，或者使用者并不关心的非结果部分，我们称之为隐藏层。在实际的网络模型中，隐藏层会有非常多的层数，它们是网络最为关键的内部核心，也是模型能够学习知识的关键部分。

在图的右侧，蓝色的神经元是网络的最后一层。模型内部计算完成之后，就需要通过这一层输出到外部，所以也叫做输出层。

需要说明的是，神经元之间的连线，表示神经元之间连接的权重，通过权重就会知道网络中每个节点的重要程度。

那么现在我们回头再来看看前馈神经网络这个名字，是不是就很好理解了。在前馈网络中，数据从输入层进入到隐藏层的第一层，然后传播到第二层，第三层……一直到最后通过输出层输出。数据的传播是单向的，无法后退，只能前行。

反向传播算法（Backpropagation）是目前训练神经网络最常用且最有效的算法。模型就是通过反向传播的方式来不断更新自身的参数，从而实现了“学习”知识的过程。

反向传播的主要原理是：

前向传播：数据从输入层经过隐藏层最后输出，其过程和之前讲过的前馈网络基本一致。计算误差并传播：计算模型输出结果和真实结果之间的误差，并将这种误差通过某种方式反向传播，即从输出层向隐藏层传递并最后到达输入层。 迭代：在反向传播的过程中，根据误差不断地调整模型的参数值，并不断地迭代前面两个步骤，直到达到模型结束训练的条件。

其中最重要的环节有两个：一是通过某种方式反向传播；二是根据误差不断地调整模型的参数值。

这两个环节，我们统称为优化方法，一般而言，多采用梯度下降的方法。这里就要使用到导数、梯度和链式法则相关的知识点，梯度下降我们将在下节课详细展开。

反向传播的数学推导以及证明过程是非常复杂的，在实际的研发过程中反向传播的过程已经被 PyTorch、TensorFlow 等深度学习框架进行了完善的封装，所以我们不需要手动去写这个过程。不过作为深度学习的研发人员，你还是需要深入了解这个过程的运转方式，这样才能搞清楚深度学习中模型具体是如何学习的。

上面我们共同了解了前馈网络、导数、梯度、反向传播等概念。但是距离真正完全了解神经网络的学习过程，我们还差一个重要的环节，那就是优化方法。只有搞懂了优化方法，才能做到真的明白反向传播的具体过程。

我们就来学习一下优化方法，为了让你建立更深入的理解，后面我还特意为你准备了一个例子，把这三节课的所有内容串联起来。

深度学习，其实包括了三个最重要的核心过程：模型表示、方法评估、优化方法。我们上节课学习的内容，都是为了优化方法做铺垫。

优化方法，指的是一个过程，这个过程的目的就是，寻找模型在所有可能性中达到评估效果指标最好的那一个。我们举个例子，对于函数 f(x)，它包含了一组参数。

这个例子中，优化方法的目的就是找到能够使得 f(x) 的值达到最小值对应的权重。换句话说，优化过程就是找到一个状态，这个状态能够让模型的损失函数最小，而这个状态就是模型的权重。

常见的优化方法种类非常多，常见的有梯度下降法、牛顿法、拟牛顿法等，涉及的数学知识也更是不可胜数。同样的，PyTorch 也将优化方法进行了封装，我们在实际开发中直接使用即可，节省了大量的时间和劳动。

不过，为了更好地理解深度学习特别是反向传播的过程，我们还是有必要对一些重要的优化方法进行了解。我们这节课要学习的梯度下降法，也是深度学习中使用最为广泛的优化方法。

梯度下降其实很好理解，我给你举一个生活化的例子。假期你跟朋友去爬山，到了山顶之后忽然想上厕所，需要尽快到达半山腰的卫生间，这时候你就需要规划路线，该怎么规划呢？

在不考虑生命危险的情况下，那自然是怎么快怎么走了，能跳崖我们绝不走平路，也就是说：越陡峭的地方，就越有可能快速到达目的地。

所以，我们就有了一个送命方案：每走几步，就改变方向，这个方向就是朝着当前最陡峭的方向，即坡度下降最快的方向行走，并不断重复这个过程。这就是梯度下降的最直观的表示了。

在上节课中我们曾说过：梯度向量的方向即为函数值增长最快的方向，梯度的反方向则是函数减小最快的方向。

梯度下降，就是梯度在深度学习中最重要的用途了。下面我们用相对严谨的方式来表述梯度下降。

在一个多维空间中，对于任何一个曲面，我们都能够找到一个跟它相切的超平面。这个超平面上会有无数个方向（想想这是为什么？），但是这所有的方向中，肯定有一个方向是能够使函数下降最快的方向，这个方向就是梯度的反方向。每次优化的目标就是沿着这个最快下降的方向进行，就叫做梯度下降。

具体来说，在一个三维空间曲线中，任何一点我们都能找到一个与之相切的平面（更高维则是超平面），这个平面上就会有无穷多个方向，但是只有一个使曲线函数下降最快的梯度。再次叨叨一遍：每次优化就沿着梯度的反方向进行，就叫做梯度下降。使什么函数下降最快呢？答案就是损失函数。

这下你应该将几个知识点串联起来了吧：为了得到最小的损失函数，我们要用梯度下降的方法使其达到最小值。这两节课的最终目的，就是让你牢牢记住这句话。

我们继续回到刚才的例子。

图中红色的线路，是一个看上去还不错的上厕所的路线。但是我们发现，还有别的路线可选。不过，下山就算是不要命地跑，也得讲究方法。