学习通信原理之

F ( ω ) = lim ⁡ T → ∞ F n 1 / T = lim ⁡ T → ∞ F n ⋅ T = lim ⁡ w → 0 F n ⋅ 2 π w F\left( \omega \right) =\lim_{T\rightarrow \infty} \frac{F_n}{1/T}=\lim_{T\rightarrow \infty} F_n \cdot T= \lim_{w\rightarrow 0} \frac{F_n\cdot 2\pi}{w} F(ω)=T→∞lim​1/TFn​​=T→∞lim​Fn​⋅T=w→0lim​wFn​⋅2π​ 在这里 F n F_n Fn​(指数型傅里叶级数的系数)是趋于无穷小的， T T T是趋于无穷大的，所以这两者相乘是一个常数。

由上文的公式 F ( ω ) = lim ⁡ T → ∞ F n 1 / T = lim ⁡ T → ∞ F n ⋅ T = lim ⁡ w → 0 F n ⋅ 2 π w F\left( \omega \right) =\lim_{T\rightarrow \infty} \frac{F_n}{1/T}=\lim_{T\rightarrow \infty} F_n \cdot T= \lim_{w\rightarrow 0} \frac{F_n\cdot 2\pi}{w} F(ω)=T→∞lim​1/TFn​​=T→∞lim​Fn​⋅T=w→0lim​wFn​⋅2π​ 以及 F n = 1 T ∫ − T 2 T 2 f ( t ) e − j n ω t d t F_n=\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}{f\left( t \right) e^{-jn\omega t}dt} Fn​=T1​∫−2T​2T​​f(t)e−jnωtdt 将 F n F_n Fn​代入 F ( j ω ) = lim ⁡ T → ∞ F n ⋅ T F\left( j\omega \right) =\lim_{T\rightarrow \infty} F_n \cdot T F(jω)=limT→∞​Fn​⋅T得

F ( ω ) = ∫ − T 2 T 2 f ( t ) e − j n ω t d t F\left( \omega \right) =\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}{f\left( t \right) e^{-jn\omega t}dt} F(ω)=∫−2T​2T​​f(t)e−jnωtdt 因为傅里叶变换的情况是 T T T趋于无穷， ω \omega ω趋于0， n ω n\omega nω变成连续的了，所以傅里叶正变换公式就是

F ( ω ) = ∫ − ∞ ∞ f ( t ) e − j ω t d t F\left( \omega \right) =\int_{-\infty}^{\infty}{f\left( t \right) e^{-j\omega t}dt} F(ω)=∫−∞∞​f(t)e−jωtdt

先看傅里叶级数的指数形式 f ( t ) = ∑ n = − ∞ ∞ F n e j n ω t f\left( t \right) =\sum_{n=-\infty}^{\infty}{F_ne^{jn\omega t}} f(t)=n=−∞∑∞​Fn​ejnωt 为了凑出 F ( ω ) F(\omega) F(ω)，我们要这样处理 f ( t ) = ∑ n = − ∞ ∞ F n T e j n ω t ⋅ 1 T f\left( t \right) =\sum_{n=-\infty}^{\infty}{F_nTe^{jn\omega t}\cdot \frac{1}{T}} f(t)=n=−∞∑∞​Fn​Tejnωt⋅T1​ 我们令 T → ∞ T\rightarrow \infty T→∞，则 ω → 0 \omega \rightarrow 0 ω→0，取其为 d ω d\omega dω，我们就可以将上式的 1 T \frac{1}{T} T1​改为 2 π T ⋅ 1 2 π \frac{2\pi}{T}\cdot \frac{1}{2\pi} T2π​⋅2π1​， ω \omega ω趋于0， n ω n\omega nω变成连续的了，求和符号应变为积分符号，所以 f ( t ) f(t) f(t)最后为

f ( t ) = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ F ( ω ) e j ω t d ω f\left( t \right) =\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}{F(\omega )}e^{j\omega t}d\omega f(t)=2π1​∫−∞∞​F(ω)ejωtdω 这就是傅里叶逆变换。

F ( ω ) = ∫ − ∞ ∞ f ( t ) e − j ω t d t F\left( \omega \right) =\int_{-\infty}^{\infty}{f\left( t \right) e^{-j\omega t}dt} F(ω)=∫−∞∞​f(t)e−jωtdt

f ( t ) = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ F ( ω ) e j ω t d ω f\left( t \right) =\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}{F(\omega )}e^{j\omega t}d\omega f(t)=2π1​∫−∞∞​F(ω)ejωtdω