高等数学期末总复习DAY18.常数项级数、正项级数、交错级数、绝对收敛

明天结束了

要清楚一个概念，以前我们学的数列和级数是两个不一样的概念，级数是求和的概念

Σ n = 1 ∞ U n \Sigma_{n =1}^{\infty} U_n Σn=1∞​Un​ 求和

当 S n → s , n → ∞ S_n \to s , n \to \infty Sn​→s,n→∞则称该常数项级数收敛

当 Σ n = 1 ∞ U n \Sigma_{n =1}^{\infty} U_n Σn=1∞​Un​收敛，则 lim ⁡ n → ∞ U n = 0 \lim_{n \to \infty}U_n = 0 limn→∞​Un​=0 (逆否命题也成立)

Σ n = 1 ∞ a q n { ∣ q ∣ < 1 收 敛 ∣ q ∣ ⩾ 1 发 散 \Sigma_{n = 1}^{\infty} a q^{n} \begin{cases} |q| \lt 1 收敛 \\ |q| \geqslant 1 发散\end{cases} Σn=1∞​aqn{∣q∣ 1 收 敛 0 < p < 1 发 散 \Sigma_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{p}} \begin{cases} p >1收敛\\ 0 < p < 1 发散\end{cases} Σn=1∞​np1​{p>1收敛0P1发散​

Σ n = 1 ∞ ( − 1 ) n − 1 U n = U 1 − U 2 + U 3 . . . . . . \Sigma_{n = 1}^{\infty} (-1)^{n-1} U_n = U_1 - U_2 + U_3 ...... Σn=1∞​(−1)n−1Un​=U1​−U2​+U3​......

解题一般使用莱布尼茨定理 分两步

则 Σ n = 1 ∞ ( − 1 ) n − 1 U n 收 敛 \Sigma_{n = 1}^{\infty} (-1)^{n-1} U_n收敛 Σn=1∞​(−1)n−1Un​收敛

Σ n = 1 ∞ U n 若 Σ n = 1 ∞ ∣ U n ∣ \Sigma_{n = 1}^{\infty} U_n 若\Sigma_{n = 1}^{\infty} |U_n| Σn=1∞​Un​若Σn=1∞​∣Un​∣收敛，则原级数一定收敛，称为绝对收敛

Σ n = 1 ∞ U n 若 Σ n = 1 ∞ ∣ U n ∣ \Sigma_{n = 1}^{\infty} U_n 若\Sigma_{n = 1}^{\infty} |U_n| Σn=1∞​Un​若Σn=1∞​∣Un​∣不收敛，但 Σ n = 1 ∞ U n \Sigma_{n = 1}^{\infty} U_n Σn=1∞​Un​收敛，称为条件收敛

例题

判断下列级数的收敛性

1 1 ⋅ 3 + 1 3 ⋅ 5 + . . . + 1 ( 2 n − 1 ) ( 2 n + 1 ) + . . . \frac{1}{1·3}+\frac{1}{3·5}+...+\frac{1}{(2n-1)(2n+1)} + ... 1⋅31​+3⋅51​+...+(2n−1)(2n+1)1​+...

解：原式等于

S n = 1 2 ( 1 − 1 3 ) + 1 2 ( 1 3 − 1 5 ) + . . . + 1 2 ( 1 2 n − 1 − 1 2 n + 1 ) S_n=\frac{1}{2}(1-\frac{1}{3})+\frac{1}{2}(\frac{1}{3}-\frac{1}{5})+...+\frac{1}{2}(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}) Sn​=21​(1−31​)+21​(31​−51​)+...+21​(2n−11​−2n+11​)

S n = 1 2 ( 1 − 1 3 + 1 3 − 1 5 + . . . + 1 2 n − 1 − 1 2 n + 1 ) S_n = \frac{1}{2}(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+...+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}) Sn​=21​(1−31​+31​−51​+...+2n−11​−2n+11​)

S n = 1 2 ( 1 − 1 2 n + 1 ) S_n = \frac{1}{2}(1-\frac{1}{2n+1}) Sn​=21​(1−2n+11​)

则 lim ⁡ n → ∞ S n = 1 2 \lim_{n\to \infty} S_n = \frac{1}{2} limn→∞​Sn​=21​

用到了常数项级数判断定理的第一点

即原级数收敛

例题2

1 + 1 + 2 1 + 2 2 + 1 + 3 1 + 3 2 + . . . + 1 + n 1 + n 2 + . . . 1+\frac{1+2}{1+2^2}+\frac{1+3}{1+3^2}+...+\frac{1+n}{1+n^2}+... 1+1+221+2​+1+321+3​+...+1+n21+n​+...

解： U n = 1 + n 1 + n 2 U_n = \frac{1+n}{1+n^2} Un​=1+n21+n​

而 U n = 1 + n 1 + n 2 > 1 + n n + n 2 = 1 n U_n = \frac{1+n}{1+n^2}>\frac{1+n}{n+n^2}= \frac{1}{n} Un​=1+n21+n​>n+n21+n​=n1​

又因为 Σ n = 1 ∞ 1 n 为 调 和 级 数 发 散 \Sigma_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n} 为调和级数发散 Σn=1∞​n1​为调和级数发散

根据比较审敛法的第一点则原级数 U n = 1 + n 1 + n 2 U_n = \frac{1+n}{1+n^2} Un​=1+n21+n​也发散

例题3

1 4 1 ! + 2 4 2 ! + . . . + n 4 n ! + . . . \frac{1^4}{1!}+\frac{2^4}{2!}+...+\frac{n^4}{n!}+... 1!14​+2!24​+...+n!n4​+...

解：

lim ⁡ n → ∞ U n + 1 U n = ( n + 1 ) 4 ( n + 1 ) ! / n 4 n ! \lim_{n \to \infty}\frac{U_{n+1}}{U_n} = \frac{(n+1)^4}{(n+1)!}/\frac{n^4}{n!} limn→∞​Un​Un+1​​=(n+1)!(n+1)4​/n!n4​

= lim ⁡ n → ∞ ( n + 1 ) 4 n 4 ⋅ n ! ( n + 1 ) ! =\lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^4}{n^4} · \frac{n!}{(n+1)!} =limn→∞​n4(n+1)4​⋅(n+1)!n!​

= lim ⁡ n → ∞ 1 n + 1 → 0 =\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n+1} \to 0 =limn→∞​n+11​→0

又因为0