多目标优化之帕累托最优

维基百科：帕累托最优是指资源分配的一种理想状态。给定固有的一群人和可分配的资源，如果从一种分配状态到另一种状态的变化中，在没有使任何人境况变坏的前提下，使得至少一个人变得更好，这就是帕累托改善。帕累托最优的状态就是不可能再有更多的帕雷托改善的状态；换句话说，不可能在不使任何其他人受损的情况下再改善某些人的境况。

多目标优化：此类问题很常见比如在购买汽车时降低成本，同时使舒适性最大化；在使车辆的燃料消耗和污染物排放最小化的同时将性能最大化，同时他还有一些条件约束。再者金融领域中，我们希望投入的资金少，风险小，并且获得的利益最大，这就是一个三目标问题，但是掰着脚趾头都知道同时达到这三个目标是不可能的，多目标优化就是给出他的一些列可能的选择，然后用户自己去评判想选谁

多目标优化问题数学模型一般可以写成如下形式 { V − m i n f ( x ) = [ f 1 ( x ) , f 2 ( x ) , . . . , f n ( x ) ] T s . t . x ∈ X X ⊂ R m \left\{ \begin{aligned} V-min f(x)=[f_{1}(x),f_{2}(x),...,f_{n}(x)]^{T} & \\ s.t. x\in X & \\ X \subset R^{m} \end{aligned} \right. ⎩⎪⎨⎪⎧​V−minf(x)=[f1​(x),f2​(x),...,fn​(x)]Ts.t.x∈XX⊂Rm​​ f 1 ( x ) , f 2 ( x ) , . . . , f n ( x ) f_{1}(x),f_{2}(x),...,f_{n}(x) f1​(x),f2​(x),...,fn​(x)表示n个目标函数，目标是都使之达到最小, X ⊂ R m X \subset R^{m} X⊂Rm是其变量的约束集合，可以理解为变量的取值范围.

1.解A优于解B（解A强帕累托支配解B） 假设现在有两个目标函数，解A对应的目标函数值都比解B对应的目标函数值好，则称解A比解B优越，也可以叫做解A强帕累托支配解B

2.解A无差别于解B 同样假设两个目标函数，解A对应的一个目标函数值优于解B对应的一个目标函数值，但是解A对应的另一个目标函数值要差于解B对应的一个目标函数值，则称解A无差别于解B。（A,B两点严格意义上是非支配关系）

3.最优解 假设在设计空间中，解A对应的目标函数值优越其他任何解，则称解A为最优解。如有一个x使两个目标函数同时达到最小，但是前面也说过，实际生活中这种解是不可能存在的。真要存在就好了，由此提出了帕累托最优解。

4.帕累托最优解 同样假设两个目标函数，对于解A而言，在变量空间中找不到其他的解能够优于解A（注意这里的优于一定要两个目标函数值都优于A对应的函数值），那么解A就是帕累托最优解。因此对于多目标优化问题而言，帕累托最优解只是问题的一个可接受解，一般都存在多个帕累托最优解，这个时候就需要人们自己决策了。

5.帕累托最优前沿 所有的帕累托最优解构成帕累托最优解集，这些解经目标函数映射构成了该问题的Pareto最优前沿或Pareto前沿面，即帕累托最优解对应的目标函数值就是帕累托最优前沿。

对于两个目标的问题，其Pareto最优前沿通常是条线。而对于多个目标，其Pareto最优前沿通常是一个超曲面。

直接上图，浅显易懂，对于一个变量，两个目标函数：

1.帕累托最优-----维基百科

2.多目标优化之帕累托最优------黄含驰文章

3.多目标规划问题的绝对最优解、有效解（帕累托最优解）和弱有效解（弱帕累托最优解）

4.多目标优化简述-------C_Meng Github文章