理论物理笔记｜泛函分析A｜Chapter3：Hilbert Space

痛定思痛补补数学基础的自我激励专栏，和时间赛跑……

泛函分析是线性代数在无穷维线性空间上的“推广”，在量子力学的模型中，粒子被认为是存在于平方可积的连续函数空间的投影空间（归一化的要求）中的波函数，“平方后积分的值”被理解为粒子出现的概率。（复数域上）平方可积函数的线性空间称为L^2，是无穷维线性空间，因此泛函分析对于无穷维线性空间的探讨也许对理解量子力学有帮助。

现有的问题比如：听说能量本征态是谱展开，这是啥意思？为什么是平方可积函数？L^2上线性算子（L^2到L^2）或者泛函（L^2到C或R）的表示是什么，如何求逆求行列式？量子力学中常见的那些算符都是线性算符吗？如果不是，如何描述？

泛函分析准备看的是Royden的《Real Analysis》，但我看着这本大部头专著有点儿胆怯，于是先用Andrew Pinchuck先生的《Functional Analysis Notes(2011)》讲义练练手，熟悉一下概况，这期专栏是后者的第三章（前两章更偏向于准备工作，且那时候ipad还没到，手写的，懒得拍照了，从完整性上来说其实差了一个可分(separable)空间的定义，不过有人看再说吧）。

前三章里对于之前问题的思考：为什么是平方可积函数？L^p空间自然定义的范数只有在p=2的时候其诱导生成的“内积”才满足内积的定义，而正交归一基的前提是定义了内积，有正交归一基，描述起来会方便很多；并不清楚p不等于2时L^p空间是否可以有其他方式定义内积，但至少应该会比L^2空间麻烦，因此能用L^2作为模型（和实验结果相符性好）自然优先考虑用L^2。这里p=2的特殊，也许是因为内积是“二”元运算，因此内积诱导范数是元素与自己内积后开“二”次方根，我猜就是因此（没算过），p不等于2时，内积就无法诱导出L^p上自然的范数了。

第三章主要介绍了泛函分析研究的主要对象：可分的希尔伯特空间（可分、完备的内积空间），对此，存在可数的正交归一基，于是对于其上元素可以有比较良好的描述，不少结论可以从线性代数直接推广得到。进一步有：任意可分的希尔伯特空间都保距地同构于l_2（平方和级数收敛的可数序列组成的空间）。